Fonctions primitives – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : Fonctions Primitives – Exercices

Ce document est un TD (travail dirigé) d’exercices sur les fonctions primitives, destiné aux élèves de BAC BIOF. Il présente une série d’exercices progressifs visant à maîtriser la recherche de primitives, avec des solutions détaillées pour certains.

Concepts et Définitions Clés :

• Une primitive d’une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\) est une fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x\) dans \(I\).
• L’ensemble des primitives d’une fonction \(f\) sur \(I\) est de la forme \(F(x) + k\), où \(k\) est une constante réelle.
• Les techniques de recherche reposent sur la reconnaissance de formes dérivées usuelles et la linéarité de l’intégration.

Types d’Exercices et Méthodes :

• Exercices directs : Recherche de primitives de fonctions polynomiales, trigonométriques, rationnelles (ex: \(5x^4 + 3x + 1\), \(\sin x + \cos x\)).
• Primitive avec condition initiale : Déterminer la primitive unique qui vérifie une condition donnée, comme \(F(1)=3\) (Exercice 1).
• Utilisation de la forme \(u’ \times u^n\) : Technique centrale pour des fonctions composées (ex: \((2x+1)^3\), \(\frac{x}{(x^2-1)^2}\)).
• Fonctions définies par morceaux : Vérifier l’existence d’une primitive sur \(\mathbb{R}\), liée à la continuité de la fonction (Exercice 4).
• Décomposition en éléments simples : Pour les fonctions rationnelles, se ramener à des formes plus simples (Exercices 6 et 8).
• Transformations trigonométriques : Utiliser des identités comme \(\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}\) pour intégrer \(\cos^4x\) ou \(\sin^3x\).

Conseils pour les Examens :

• Repérer systématiquement si la fonction est de la forme \(u'(x) \times [u(x)]^n\).
• Pour une fonction rationnelle, vérifier si le numérateur est la dérivée du dénominateur.
• Une fonction doit être continue sur un intervalle pour y admettre une primitive. Son absence de continuité (comme en un point) est un critère d’inexistence.
• Ne pas oublier la constante \(k\) (\(k \in \mathbb{R}\)) dans l’expression générale des primitives, sauf si une condition initiale la fixe.
• S’entraîner aux manipulations algébriques et trigonométriques pour reconnaître les formes.