Le produit scalaire – Cours
Résumé et Points Clés
Résumé du cours sur le produit scalaire
Le produit scalaire est une opération clé en géométrie vectorielle du plan, permettant de calculer des angles, des longueurs et de vérifier l’orthogonalité. Il est défini pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) par : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)\), où \(\theta\) est l’angle entre les vecteurs.
Concepts et méthodes principaux :
- Calcul via les normes et l’angle : Utilisation directe de la définition avec le cosinus de l’angle.
- Théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) : Permet de trouver un angle ou un côté dans un triangle : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})\).
- Expression avec les coordonnées/projeté orthogonal : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH\), où \(H\) est le projeté de \(C\) sur \((AB)\).
- Théorème de la médiane : Pour \(I\) milieu de \([BC]\), \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{1}{2}BC^2\).
- Relation fondamentale avec un milieu : Pour tout point \(M\) et \(I\) milieu de \([AB]\), \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 – \frac{1}{4} AB^2\). Cette relation aide à déterminer des ensembles de points (cercle, point unique, ensemble vide).
Astuces pour les examens :
- Pour montrer que deux droites sont orthogonales, prouvez que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
- Utilisez la forme appropriée du produit scalaire selon les données de l’exercice (Al-Kashi pour trois côtés, projeté pour un angle aigu, etc.).
- La relation avec le milieu est très utile pour les questions sur les lieux géométriques.
- Attention aux signes : un produit scalaire négatif indique un angle obtus, positif un angle aigu, et nul un angle droit.