La droite dans le plan – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé : Droite dans le plan – Exercices

Ce document présente une série d’exercices corrigés sur la droite dans le plan, destinés au Tronc Commun Scientifique. Les exercices couvrent les concepts clés des repères orthonormés, des vecteurs, et des équations de droites.

Concepts et Définitions Principaux :

• Coordonnées et vecteurs : Calcul des coordonnées de points, de vecteurs (ex: \( \overrightarrow{AB} \)), et du milieu d’un segment.
• Colinéarité : Détermination de la colinéarité de deux vecteurs via le déterminant (det(\( \vec{u}, \vec{v} \))=0) ou en cherchant un facteur de proportionnalité.
• Représentation paramétrique d’une droite : Écrite sous la forme \( \begin{cases} x = x_A + t \times x_u \\ y = y_A + t \times y_u \end{cases} \) où \( A \) est un point et \( \vec{u} \) un vecteur directeur.
• Équation cartésienne d’une droite : De la forme \( ax + by + c = 0 \), où \( (a, b) \) sont les coordonnées d’un vecteur normal. Elle peut être trouvée via la condition de colinéarité \( \text{det}(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0 \).
• Distances et alignement : Calcul de la distance entre deux points et vérification de l’alignement de trois points via la colinéarité des vecteurs.

Conseils pour les examens :

• Pour vérifier la colinéarité, privilégiez le calcul du déterminant : il est systématique et évite les erreurs de manipulation algébrique.
• Pour trouver l’équation cartésienne, retenez que si \( \vec{u}(-b, a) \) est directeur, alors \( (a, b) \) est un vecteur normal.
• Pour déterminer si un point appartient à une droite donnée paramétriquement, substituez ses coordonnées dans le système ; il doit exister un même paramètre \( t \) vérifiant les deux équations.
• Dans les exercices de discussion (avec paramètre \( m \)), analysez soigneusement le cas où le déterminant s’annule.