La droite dans le plan – Cours

Résumé et Points Clés

La droite dans le plan – Résumé

Ce cours traite de la géométrie analytique dans le plan, en se concentrant sur les droites. Il est structuré en quatre parties principales.

I) Repère et coordonnées d’un point et d’un vecteur

• Un repère (O; I, J) est défini par trois points non alignés. Il peut être orthogonal, normé ou orthonormé.
• Un point M a pour coordonnées uniques (x, y) telles que OM = x OI + y OJ.
• Les coordonnées d’un vecteur sont celles du point M tel que OM = u.
• Propriétés clés : Calcul des coordonnées d’un vecteur AB, de la distance AB, des coordonnées du milieu d’un segment, et des opérations sur les vecteurs (somme, multiplication par un scalaire).

II) Condition analytique de colinéarité de deux vecteurs

• Le déterminant de deux vecteurs u(x, y) et v(x’, y’) est défini par det(u, v) = xy’ – x’y.
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : det(u, v) = 0.
• Application : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires (det(AB, AC)=0).
• Des exemples et exercices avec paramètres illustrent la discussion de la colinéarité.

III) La droite dans le plan

• Vecteur directeur : Un vecteur non nul u qui a la même direction qu’une droite (D) est un vecteur directeur de cette droite. Une droite en possède une infinité.
• Définition vectorielle : La droite (D) passant par un point A et de vecteur directeur u est l’ensemble des points M tels qu’il existe un réel α avec AM = αu.

IV) Positions relatives de deux droites (mentionné mais non détaillé dans l’extrait fourni)

Conseils pour les examens :

• Maîtrisez le calcul des coordonnées, des milieux et des distances dans un repère orthonormé.
• La condition de colinéarité via le déterminant est fondamentale pour prouver l’alignement de points ou le parallélisme de vecteurs/droites.
• Pour une droite, identifiez correctement un point et un vecteur directeur pour en donner une représentation.
• Entraînez-vous sur les exercices types avec paramètres pour discuter de la colinéarité.