L’ordre dans IR – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : L’ordre dans IR – Résumé des concepts clés

Ce chapitre traite de l’ordre dans l’ensemble des nombres réels (IR). La comparaison de deux réels a et b se ramène à l’étude du signe de leur différence (a – b). Les symboles ≤, ≥, < et > sont définis en relation avec ce signe.

I. L’ordre et les opérations

• Addition : Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c et a – c ≤ b – c. On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens, mais on ne peut pas les soustraire.
• Multiplication : Le sens d’une inégalité est conservé si on multiplie par un réel positif, et inversé si on multiplie par un réel négatif.
  • Pour a et b strictement positifs : a ≤ b ⇒ a² ≤ b² et √a ≤ √b.
  • Pour a et b strictement positifs : a ≤ b ⇒ 1/a ≥ 1/b (l’ordre est inversé pour les inverses).
  • Pour a et b négatifs : a ≤ b ⇒ a² ≥ b².

II. La valeur absolue

• Définie comme la distance à zéro sur un axe gradué : |x| = x si x ≥ 0, et |x| = -x si x ≤ 0.
• Propriétés fondamentales : |x| ≥ 0, |x|² = x², |x.y| = |x|.|y|, |x/y| = |x|/|y| (y≠0).
• La distance entre deux réels a et b est |a – b|.
• Résolution d’équations : |x| = a équivaut à x = a ou x = -a (si a ≥ 0). |x| = |y| équivaut à x = y ou x = -y.

Conseils pour les exercices :

• Pour comparer deux nombres, calculez systématiquement le signe de leur différence (a – b).
• Manipulez les inégalités avec prudence lors des multiplications (attention au signe du multiplicateur).
• Pour simplifier des expressions avec des racines carrées dans les comparaisons, utilisez la mise au carré (en vérifiant que les termes sont positifs) ou la technique du conjugué.
• Pour les valeurs absolues, revenez à la définition par cas selon le signe de l’expression à l’intérieur.