Géométrie dans l’espace – Exercices

Résumé et Points Clés

Chapitre 15 : Géométrie dans l’espace – Résumé

Ce chapitre couvre les concepts fondamentaux de la géométrie dans l’espace pour le Tronc Commun Technologique. Il est structuré en plusieurs parties principales.

I. Règles de base (Axiomes d’incidence) : Ils établissent les principes fondamentaux :

• Par deux points distincts passe une unique droite.
• Par trois points non alignés passe un unique plan.
• Si deux points appartiennent à un plan, la droite qui les contient est incluse dans ce plan.
• L’intersection de deux plans sécants est une droite.

II. Positions relatives : On étudie les configurations possibles entre :

• Deux droites : coplanaires (sécantes, parallèles, confondues) ou non coplanaires.
• Une droite et un plan : sécants ou parallèles (la droite contenue dans le plan ou strictement parallèle).
• Deux plans : sécants (leur intersection est une droite) ou parallèles (stricts ou confondus).

III. Parallélisme : Des propriétés et théorèmes clés sont présentés, comme le théorème du toit. On y traite du parallélisme entre droites, entre plans, et entre une droite et un plan.

IV. Orthogonalité : Définitions et propriétés essentielles :

• Droite et plan orthogonaux : la droite est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan.
• Plan médiateur d’un segment : plan perpendiculaire au segment en son milieu, ensemble des points équidistants des extrémités.
• Plans perpendiculaires : l’un contient une droite orthogonale à l’autre.

V. Surfaces et volumes des solides : Formules pour calculer les volumes et aires des principaux solides :

• Polyèdres : Prisme droit (Volume = Aire de la base × hauteur), Pyramide (Volume = (Aire de la base × hauteur)/3). Cas particuliers : pavé droit, cube, tétraèdre.
• Solides de révolution : Cylindre, cône et sphère, avec leurs formules de volume et de surface.

Conseils pour l’examen : Maîtrisez les définitions et les propriétés de parallélisme et d’orthogonalité. Entraînez-vous à visualiser les positions relatives et à appliquer les théorèmes (comme le théorème du toit) dans les exercices de démonstration. Apprenez par cœur les formules de volumes et de surfaces, en identifiant bien la base et la hauteur de chaque solide.