Arithmétique dans IN – Cours

Résumé et Points Clés

Arithmétique dans IN – Résumé du Cours

Ce cours d’arithmétique pour le tronc commun aborde les notions fondamentales sur les nombres entiers naturels.

I. Nombres pairs et impairs

• Définition : Un entier n est pair s’il est divisible par 2 (∃ k ∈ IN, n=2k). Sinon, il est impair (∃ k ∈ IN, n=2k+1).
• Exemples & Propriétés : 0 est pair, 1 est impair. La somme de deux pairs est paire, le produit de deux impairs est impair.

II. Critères de divisibilité

• Règles pour tester la divisibilité sans effectuer la division :
  • Par 2 : Chiffre des unités pair.
  • Par 3 (ou 9) : Somme des chiffres divisible par 3 (ou 9).
  • Par 4 (ou 25) : Nombre formé par les deux derniers chiffres divisible par 4 (ou 25).
  • Par 5 : Chiffre des unités 0 ou 5.
  • Par 11 : La différence entre la somme des chiffres de rang impair et pair (S1-S2) est divisible par 11.

III. Nombres premiers

• Définition : Un entier p ≥ 2 est premier s’il n’a que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : Deux entiers a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.
• Théorème clé : Pour vérifier si un entier n est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers ≤ √n.

IV. Décomposition en facteurs premiers

• Tout entier a > 1 se décompose de manière unique en un produit de puissances de nombres premiers : a = p1^α1 × p2^α2 × … × pk^αk.
• Cette décomposition est essentielle pour calculer le PGCD et le PPCM.

V. PGCD et PPCM

• PGCD(a,b) : Plus Grand Commun Diviseur. C’est le produit des facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant.
• PPCM(a,b) : Plus Petit Commun Multiple. C’est le produit de tous les facteurs premiers communs et non communs affectés du plus grand exposant.
• Relation importante : PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b.

VI. Division euclidienne

• Pour tout entier a (dividende) et b>0 (diviseur), il existe un unique couple (q, r) d’entiers tels que : a = b × q + r avec 0 ≤ r < b.
• q est le quotient et r le reste.

Conseils pour les examens : Maîtrisez les critères de divisibilité pour gagner du temps. Pour les problèmes de PGCD/PPCM, commencez toujours par la décomposition en facteurs premiers. Pour prouver qu’un nombre est premier, utilisez la méthode de test jusqu’à √n. La relation PGCD × PPCM = a × b est très utile pour les problèmes avec deux inconnues.