// 2016- Session Normale – Exercices

Résumé et Points Clés

Exercice 1 : Suite numérique

• Étude d’une suite (Un) définie par une relation de récurrence. On montre par récurrence que pour tout n, Un < 3.
• Introduction d’une suite auxiliaire (Vn) définie par Vn = 1/(3 – Un). On démontre qu’elle est géométrique de raison 1/2.
• On en déduit l’expression explicite de Un et sa limite (qui est 1).
• Concepts clés : raisonnement par récurrence, suite géométrique, forme explicite, calcul de limite.

Exercice 2 : Géométrie dans l’espace

• Calcul du produit vectoriel AB ∧ AC pour trouver un vecteur normal au plan (ABC).
• Détermination de l’équation cartésienne du plan (ABC) : 2x + 2y + z – 9 = 0.
• Étude d’une sphère (S) : détermination de son centre Ω(1, -1, 0) et de son rayon R = √6.
• Calcul de la distance du centre Ω au plan (ABC), qui vaut 3. Comme cette distance est inférieure au rayon, le plan coupe la sphère selon un cercle (Γ).
• Détermination de la droite (Δ) perpendiculaire à (ABC) passant par Ω et vérification que le point B est le centre du cercle d’intersection (Γ).
• Concepts clés : produit vectoriel, équation de plan, sphère et intersection avec un plan, distance point-plan, représentation paramétrique d’une droite.

Exercice 3 : Nombres complexes

• Résolution dans ℂ de l’équation z² – 4z + 29 = 0. Les solutions sont 2 + 5i et 2 – 5i.
• Étude des points d’affixes données : ω = 2+5i, a = 5+2i, b = 5+8i.
  • Calcul et interprétation géométrique de u = b – ω et a – ω.
  • Démonstration que ΩA = ΩB et détermination d’un argument de (b-ω)/(a-ω).
  • Détermination de l’image du point A par la rotation R de centre Ω et d’angle π/2 : on trouve que R(A)=B.
• Concepts clés : résolution d’équation du second degré dans ℂ, module et argument, interprétation géométrique (longueur, angle), rotation complexe.

Problème : Étude de fonction

• Fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x – 2 + eˣ – 4e⁻ˣ.
• Limites et asymptotes :
  • En -∞ : asymptote oblique (D) : y = 2x – 2.
  • En +∞ : branche parabolique de direction (Oy).
• Dérivée : f'(x) = 2(eˣ – 1)² ≥ 0, donc f est croissante sur ℝ.
• Existence et unicité d’un réel α dans ]1, ln4[ tel que f(α)=0 (théorème des valeurs intermédiaires).
• Position relative de (Cf) par rapport à (D) : (Cf) est en dessous de (D) sur ]-∞, ln4[ et au-dessus sur ]ln4, +∞[.
• Point d’inflexion en (0, -5).
• Calcul d’une aire intégrale liée à la fonction.
• Concepts clés : limites, asymptotes, dérivation, sens de variation, théorème des valeurs intermédiaires, position relative, point d’inflexion, calcul intégral.

Conseils pour l’examen : Maîtrisez les techniques de récurrence, le calcul vectoriel et géométrique dans l’espace, les propriétés des nombres complexes (module, argument, rotations) et la méthodologie complète de l’étude d’une fonction (limites, dérivées, variations, intégrales). Entraînez-vous à rédiger de manière claire et justifiée.