Fonctions primitives et calcul intégral – Cours

Résumé et Points Clés

Fonctions Primitives et Calcul Intégral – Résumé

Une fonction primitive F d’une fonction f sur un intervalle I est définie par deux conditions : F est dérivable sur I et pour tout x dans I, F'(x) = f(x). Si une fonction f est continue sur I, alors elle admet une primitive sur cet intervalle (c’est une condition suffisante).

Propriétés clés :

• Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + λ, où λ est une constante réelle.
• Il existe une unique primitive F₀ de f qui vérifie une condition initiale donnée : F₀(x₀) = y₀.
• Les opérations sur les primitives se limitent à la somme et au produit par un réel : si F et G sont des primitives de f et g, alors (αF + βG) est une primitive de (αf + βg).

Le cours présente un tableau des primitives usuelles (fonctions puissance, trigonométriques, etc.) et étend ces formules aux fonctions composées de la forme u’ × uⁿ ou u’/(u²+1), ce qui est crucial pour le calcul.

Méthodes et conseils pour les examens :

• Primitives directes : Repérer si la fonction est de la forme u’ × uⁿ ou u’ × v(u) pour appliquer directement les formules du tableau étendu.
• Autres situations : Pour les fonctions rationnelles de type 1/(ax²+bx+c), la méthode dépend du discriminant (Δ) :
  • Si Δ < 0, on se ramène à la forme u’/(u²+1) pour utiliser l’arctangente.
  • Si Δ = 0, on utilise la forme u’/u².
  • Si Δ > 0, une factorisation est nécessaire (méthode vue ultérieurement).
• Attention aux pièges : Une fonction peut ne pas admettre de primitive sur ℝ si elle n’est pas continue (un contre-exemple est donné avec une fonction définie par morceaux et discontinue en un point). La continuité est une condition importante.
• Pour les fonctions trigonométriques, utiliser les formules de linéarisation (comme cos²x = (1+cos2x)/2) peut être nécessaire pour trouver une primitive.