2018 : Normale – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé du corrigé de l’examen national 2018 (2ème année Sciences Maths)

Le document présente les solutions détaillées de trois exercices de mathématiques.

Exercice 1 : Algèbre (Groupes, Anneaux, Corps)

• L’ensemble E des matrices de la forme M(x,y) est étudié. Il est démontré que E est un sous-groupe et un sous-espace vectoriel de M₂(ℝ).
• La famille (I, J) est prouvée être une base de E.
• E est stable pour la multiplication matricielle, ce qui permet de montrer que (E, +, ×) est un anneau commutatif.
• Un homomorphisme surjectif φ est défini entre (ℂ*, ×) et (E*, ×), établissant que (E*, ×) est un groupe commutatif.
• La structure finale démontrée est que (E, +, ×) est un corps commutatif.

Exercice 2 : Arithmétique (Théorèmes de Fermat et Bézout)

• Pour un nombre premier p de la forme 3+4k, il est démontré que si x² ≡ 1 [p], alors x^(p-5) ≡ 1 [p].
• La réciproque est établie en utilisant le théorème de Bézout et le théorème de Fermat.
• Une application est faite pour résoudre l’équation x⁶² ≡ 1 [67], en trouvant les solutions x ≡ 1 [67] et x ≡ -1 [67].

Exercice 3 : Nombres Complexes et Géométrie

• Résolution d’une équation du second degré dans ℂ paramétrée par m. Le discriminant est Δ = (im – i)². Les solutions sont données selon les valeurs de m.
• Pour m = 2i, les solutions sont exprimées sous forme trigonométrique.
• Dans la partie géométrique, une rotation R est définie. Il est démontré que les points A, M et M’ sont alignés si et seulement si les points A, B, M et le centre Ω de la rotation sont cocycliques ou alignés.

Conseils pour l’examen : Maîtriser les preuves de structure algébrique (sous-groupe, sous-espace vectoriel, base). Bien connaître les théorèmes d’arithmétique (Fermat, Bézout) et leur application. Pour les complexes, savoir passer entre les formes algébrique, trigonométrique et exponentielle, et bien interpréter géométriquement les transformations.