2017 : Normale – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé de l’examen national unifié du baccalauréat 2017 – Mathématiques, filière Sciences Mathématiques (A) et (B) (version française)

Ce sujet d’examen comprend quatre exercices indépendants couvrant les principaux domaines du programme de mathématiques. La durée de l’épreuve est de 4 heures et l’usage de la calculatrice ou de l’encre rouge est interdit.

Exercice 1 (3,5 points) – Structures algébriques : Cet exercice explore les propriétés d’un ensemble E de matrices 3×3. Les questions portent sur la démonstration que E est un sous-groupe, sa stabilité par une loi de composition interne T, et l’étude d’un homomorphisme pour établir que (E, T) est un groupe commutatif. Il s’achève par la preuve que (E, +, T) est un corps commutatif.

Exercice 2 (3,5 points) – Nombres complexes : L’exercice est divisé en deux parties. La première consiste à résoudre une équation du second degré dans ℂ. La seconde, dans le plan complexe, étudie les propriétés géométriques (alignement, rotation, cocyclicité) de points définis par leurs affixes en fonction d’un paramètre complexe m.

Exercice 3 (3 points) – Arithmétique : En admettant que 2017 est premier, cet exercice demande de résoudre dans ℕ*² l’équation diophantienne x^p + y = 2017^(p-1), où p est un nombre premier ≥5. La résolution passe par l’utilisation des congruences pour démontrer que p doit diviser 2016, conduisant à la solution unique p=7.

Exercice 4 (10 points) – Analyse : C’est l’exercice le plus long et noté. Il comporte trois parties :

• Partie 1 : Étude complète d’une fonction f définie par morceaux (continuité, dérivabilité, limites, variations, point d’inflexion et tracé de sa courbe).
• Partie 2 : Étude d’une fonction F, primitive de f. Elle implique le calcul d’intégrales par parties, le calcul d’une aire, et l’étude d’une suite définie à partir de F en utilisant le théorème des accroissements finis.
• Partie 3 : Étude d’une suite (a_n) définie implicitement par f(a_n) = e^(-1/n). Les questions concernent sa croissance, son comportement asymptotique et l’établissement d’encadrements.

Conseils pour l’examen : Bien gérer le temps en raison du poids de l’exercice d’analyse. Vérifier la cohérence des résultats, notamment dans l’exercice d’arithmétique où la conclusion (p=7) est spécifique. Dans l’exercice sur les complexes, la traduction géométrique des relations algébriques est cruciale. Pour l’analyse, la rigueur dans les justifications (continuité, dérivabilité, théorèmes utilisés) est essentielle pour obtenir tous les points.