Devoirs 2nd Semestre – Partie 3

Résumé et Points Clés

Résumé des Devoirs – 2ème Semestre, Partie 3

Ce document contient trois exercices d’algèbre et d’arithmétique pour la classe de 2ème BAC Sciences Mathématiques.

Exercice 1 : Structure algébrique

• On étudie la loi de composition interne T définie sur J = ]-1, 1[ par x T y = (x+y)/(1+xy).
• Il faut montrer que cette loi est associative et que (J, T) a une structure de groupe, en utilisant un morphisme bijectif f : ℝ*+ → J défini par f(x) = (x-1)/(x+1).
• On examine aussi une partie stable I = {(n-1)/(n+1) | n ∈ ℤ} et on démontre que (I, T) est un sous-groupe.
• Une question finale demande de démontrer une formule pour la puissance n-ième d’un élément par rapport à cette loi.

Exercice 2 : Arithmétique modulaire (nombre premier p ≥ 3)

• Résoudre dans ℤ² l’équation (E) : x² – y² = p.
• Résoudre l’équation (F) : p³ – x² = p y², en montrant d’abord que si (x,y) est solution, alors y est un multiple de p.
• Démontrer des propriétés de divisibilité impliquant les coefficients binomiaux C_p^k et une congruence générale : ∀n ∈ ℤ, (n+1)^p – (n-1)^p ≡ 0 [2p].

Exercice 3 : Équations diophantiennes et PGCD

• Résoudre dans ℤ² l’équation (E) : (x+1)² = 9y + 5. Une étape cruciale est de montrer que x ≡ 1 [5] ou x ≡ 2 [5].
• Démontrer une identité concernant le PGCD : ∀k ∈ ℤ, (5k+4) ∧ (k+1) = (3k+8) ∧ (k-1).
• Résoudre un système dans ℕ² combinant une équation (121x = 59y), la condition PGCD(x, y) = 8, et la congruence x ≡ 1 [5].

Conseils pour l’examen : Maîtrisez les preuves de stabilité, d’associativité et de structure de groupe. Pour l’arithmétique, soyez méthodique dans la résolution des équations modulaires et dans l’application des propriétés de divisibilité et du théorème de Bézout. La manipulation des congruences et du binôme de Newton est essentielle.