Devoirs 2nd Semestre – Exercices

Résumé et Points Clés

Devoirs 2nd Semestre – Exercices : Résumé

Ce document est un examen blanc de mathématiques pour la 2ème année du baccalauréat sciences mathématiques (2 SM). Il comporte un problème principal et trois exercices couvrant l’analyse, les nombres complexes, l’arithmétique et les structures algébriques.

Problème (10 points) : Il s’articule autour de l’étude d’une fonction f définie par f(x)=x/ln(x) sur ]0, +∞[.

• Partie I : Analyse classique de la fonction (calcul de limites, tableau de variation, recherche de points d’inflexion, représentation graphique). Elle se termine par un calcul d’aire délimitée par la courbe et des droites.
• Partie II : Introduction d’une suite d’intégrales I_p. Elle demande des calculs d’intégrales, une démonstration par récurrence et une interprétation géométrique.
• Partie III : Étude d’une fonction F définie par une intégrale et d’une suite (u_n) associée. Les questions portent sur le domaine de définition, la dérivabilité, le calcul de limites et des propriétés de la suite.

Exercice 1 (3 points) : Géométrie complexe. Il s’agit d’étudier une application F du plan définie par une condition angulaire et module. Les questions demandent :

• L’écriture complexe de F.
• L’identification des points invariants.
• La décomposition de F en une composée de rotation et d’homothétie.
• Une démonstration de points cocycliques.

Exercice 2 (2,5 points) : Arithmétique.

• Démontrer que m² et (m-1) sont premiers entre eux pour m ≥ 2.
• Résoudre une équation diophantienne m²x + (m-1)y = 1 dans ℤ².
• Application numérique avec m=7 pour travailler sur la primalité et les congruences (401 étant un nombre premier).

Exercice 3 (4,5 points) : Structures algébriques (Groupes).

• Étude d’un ensemble A d’applications du plan complexe, paramétrées par un couple (a,b).
• Démontrer que (A, o) est un groupe commutatif.
• Établir un isomorphisme entre ce groupe et un ensemble E muni d’une loi interne T.
• En déduire la structure de (E, T), son élément neutre et les symétriques.
• Étude d’un sous-ensemble particulier H de E.

Conseils pour l’examen : Maîtriser les techniques fondamentales d’analyse (limites, dérivation, intégration), les propriétés des nombres complexes et des transformations géométriques, les théorèmes d’arithmétique (Bézout, Gauss) et les preuves pour les structures de groupe (loi interne, associativité, élément neutre, symétrique). La gestion du temps (4 heures) est cruciale face à la densité des sujets.