Devoirs 2nd Semestre - Cours

Devoirs 2nd Semestre – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du Cours – Devoirs 2nd Semestre

Ce document présente une série d’exercices d’analyse mathématique centrés sur l’étude d’une fonction f(x) = x – x ln(x) pour x>0, avec f(0)=0, et de suites associées.

Partie 1 : Étude de la fonction f

L’étude commence par l’analyse de la dérivabilité à droite en 0 et l’établissement du tableau de variations de f.
On étudie la position relative de sa courbe C_f par rapport à la droite d’équation y = x.
On définit une suite (U_n) par récurrence avec U₀ = e^-2 et U_n+1 = f(U_n). L’objectif est de montrer qu’elle est croissante et majorée (donc convergente) et de trouver sa limite.

Partie 2 : Étude d’équations et de suites paramétrées

Pour n ≥ 3, on montre que l’équation f(x) = 1/n admet deux solutions distinctes a_n et b_n (avec a_n < b_n).
On étudie la convergence des suites (a_n) et (b_n). Des encadrements précis (comme a_n < 2/n) permettent de trouver leurs limites et le comportement asymptotique (par exemple, lim (ln a_n / ln n) = -1).
On utilise des inégalités comme x > 2 ⇒ x < 2 ln(x) pour établir certains résultats.

Partie 3 : Intégration et suites d’intégrales

On introduit une famille de fonctions f_n sur [0,1], liées à f, et on étudie leur continuité.
On définit une fonction g_n et on établit une relation entre g_n, f_n et f_n+1.
On définit U_n(x) comme l’intégrale de g_n et on calcule U_n(1) = 1/(4(n+1)). Ce résultat est utilisé pour calculer une aire délimitée par la courbe C_f.
On définit une suite d’intégrales I_n = ∫₀¹ f_n(t) dt. On établit une relation de récurrence entre I_n et I_n+1 faisant intervenir U_n(1).
L’étude d’une fonction auxiliaire φ(x) permet de démontrer un encadrement clé : 0 < ln(x)/(1-x) < 1/2 pour x dans ]0,1[.
Enfin, on lie la suite I_n à une suite V_n = Σ (1/k²) de k=1 à n (série harmonique des carrés) et on en déduit la limite de V_n.

Conseils pour l’examen : Maîtrisez parfaitement l’étude des variations, la dérivabilité en un point, et les techniques de démonstration de convergence de suites (monotonie, bornitude). Entraînez-vous sur les raisonnements par récurrence et l’utilisation d’encadrements pour trouver des limites. La manipulation des intégrales et des relations entre suites est centrale.