Devoirs 1er Semestre – Partie 3

Résumé et Points Clés

Devoir de Mathématiques – 2ème Bac Sciences Mathématiques

Ce devoir couvre plusieurs exercices de calcul de limites, d’étude de continuité et de bijection de fonctions.

Exercice 1 : Calcul de limites

• Calculer cinq limites différentes, impliquant des formes indéterminées et des fonctions trigonométriques (sinus).
• Les techniques à utiliser incluent la factorisation, la rationalisation, et l’utilisation des limites remarquables.

Exercice 2 : Continuité d’une fonction avec partie entière

• Étudier la fonction f définie à l’aide de la partie entière E.
• Montrer une inégalité encadrant f(x) pour x proche de 0.
• En déduire la continuité à droite en 0, puis déterminer si f est continue en ce point.
• Conseil d’examen : Maîtriser les propriétés de la fonction partie entière et la définition de la continuité.

Exercice 3 : Bijection et fonction réciproque

• Pour la fonction f(x) = (x³ – 1)/(x³ + 1), déterminer son domaine de définition D = ]-1, 1[.
• Calculer la limite à gauche en x = -1.
• Démontrer que f est une bijection de son domaine vers un intervalle J à préciser.
• Déterminer l’expression de la fonction réciproque f⁻¹(x) sur J.
• Conseil d’examen : Vérifier soigneusement la stricte monotonie pour prouver la bijection.

Exercice 4 : Prolongement par continuité

• Pour la fonction f(x) = (√(1+x) – √(1-x)) / x, simplifier son expression sur ]-1,1[\{0}.
• Utiliser cette forme simplifiée pour calculer la limite en 0 et en déduire un prolongement par continuité en a=0.
• Conseil d’examen : La technique de conjugaison est essentielle pour lever l’indétermination.

Concepts clés généraux : Limites, formes indéterminées, continuité (à droite, en un point), prolongement par continuité, fonction partie entière, bijection et fonction réciproque.