Espaces vectoriels – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : Espaces vectoriels – Exercices

Cette série d’exercices, destinée aux élèves de 2ème BAC Sciences maths, vise à maîtriser les concepts fondamentaux des espaces vectoriels. Les exercices couvrent la vérification des axiomes pour déterminer si un ensemble muni d’opérations est un espace ou un sous-espace vectoriel.

Concepts et Définitions Clés :

• Espace vectoriel : Un ensemble muni d’une addition interne et d’une multiplication par un scalaire, vérifiant des axiomes précis (élément neutre, associativité, distributivité).
• Sous-espace vectoriel : Un sous-ensemble non vide d’un espace vectoriel, stable par combinaison linéaire.
• Combinaison linéaire : Un vecteur exprimé comme une somme de multiples scalaires d’autres vecteurs (ou matrices, polynômes, fonctions).
• Famille génératrice : Un ensemble de vecteurs dont les combinaisons linéaires peuvent engendrer tout l’espace ou un sous-espace.

Types d’Exercices et Conseils d’Examen :

• Vérification d’un espace/sous-espace : Il faut vérifier la non-vacuité (souvent via le vecteur nul) et la stabilité par combinaison linéaire. Les solutions montrent la méthode pas à pas.
• Combinaison linéaire : Il s’agit de résoudre un système d’équations pour trouver les scalaires. Un exercice typique demande si un vecteur/matrice/polynôme donné est combinaison linéaire d’autres.
• Famille génératrice : Montrer que tout élément de l’espace peut s’écrire avec les vecteurs de la famille.
• Astuce : Pour prouver qu’un ensemble F est un espace vectoriel, il est souvent plus simple de montrer que c’est un sous-espace d’un espace vectoriel connu (comme ℝ² ou M₂(ℝ)) en vérifiant les deux conditions de stabilité.

Le texte, accompagné de solutions détaillées, insiste sur l’entraînement régulier aux calculs pour assimiler ces notions essentielles de l’algèbre linéaire.