Espaces vectoriels – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du cours sur les espaces vectoriels

Un espace vectoriel est une structure algébrique fondamentale. Il est défini comme un ensemble E muni d’une loi de composition interne (+) et d’une loi de composition externe (.) à coefficients dans un corps K (souvent ℝ), vérifiant des propriétés précises : (E,+) est un groupe commutatif, et les lois sont compatibles (distributivité, associativité mixte, élément neutre scalaire). Les éléments de E sont des vecteurs, ceux de K des scalaires.

Exemples clés d’espaces vectoriels sur ℝ incluent :

• L’ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ.
• ℝ² et ℝⁿ (les n-uplets de réels).
• L’ensemble des polynômes de degré ≤ n, noté ℝₙ[X].
• L’ensemble des matrices Mₙ(ℝ).

Un sous-espace vectoriel F de E est une partie non vide de E, stable par combinaison linéaire : ∀x,y ∈ F, ∀λ,μ ∈ K, (λ.x + μ.y) ∈ F. C’est le critère principal pour en reconnaître un.

Une combinaison linéaire de vecteurs x₁,…,xₙ est un vecteur de la forme α₁x₁ + … + αₙxₙ, avec αᵢ ∈ K. L’ensemble de toutes ces combinaisons forme le sous-espace engendré par cette famille, noté Vect(x₁,…,xₙ).

Une famille de vecteurs est dite :

• Libre (linéairement indépendante) si une combinaison linéaire nulle implique que tous les coefficients sont nuls.
• Liée dans le cas contraire.

Une base de E est une famille à la fois libre et génératrice (elle engendre tout E). Tout vecteur s’y exprime de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base, ce qui définit ses coordonnées. Si une base possède un nombre fini n de vecteurs, on dit que E est de dimension finie n.

Conseils pour les examens :

• Maîtriser la caractérisation d’un sous-espace vectoriel par la stabilité par combinaison linéaire.
• Pour montrer qu’une famille est une base dans un espace de dimension connue (comme ℝ² ou ℝ³), il suffit souvent de prouver qu’elle est libre et qu’elle a le bon nombre de vecteurs.
• Savoir calculer le déterminant (2×2 ou 3×3) des coordonnées pour vérifier l’indépendance linéaire dans ℝ² et ℝ³.
• L’entraînement sur des exercices variés est essentiel pour assimiler ces concepts.