Probabilités – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé du cours de Probabilités

Ce document est un résumé des concepts clés en probabilités, destiné aux élèves de BAC SM BIOF. Il couvre le vocabulaire fondamental, les règles de calcul, les lois discrètes et fournit des exercices avec solutions.

1. Vocabulaire de base

• Expérience aléatoire : Issue imprévisible. Univers (Ω) : Ensemble de tous les résultats possibles (éventualités).
• Événement : Partie de l’univers. Les événements peuvent être élémentaires, certains (Ω), impossibles (∅) ou contraires.
• Opérations : Union (A∪B), Intersection (A∩B). Deux événements sont incompatibles si A∩B=∅.

2. Probabilité d’un événement

• Dans un cas équiprobable : P(A) = (cas favorables) / (cas possibles).
• Propriétés fondamentales : 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω)=1, P(∅)=0, P(A̅) = 1 – P(A).
• Formules importantes :
  • Pour événements incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
  • Formule générale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

3. Probabilité conditionnelle et indépendance

• Probabilité de B sachant A (si P(A)≠0) : P_A(B) = P(A∩B) / P(A). On en déduit P(A∩B) = P(A) × P_A(B).
• Deux événements A et B (de probabilités non nulles) sont indépendants si P(A∩B) = P(A) × P(B), ou si P_A(B)=P(B).

4. Loi des probabilités totales

• Si A₁, A₂, … A_n forment une partition de Ω, alors pour tout événement B : P(B) = Σ P(A_i) × P_{A_i}(B).

5. Variables aléatoires et Lois discrètes

• Variable aléatoire (v.a.) : Fonction associant un nombre réel à chaque issue. Sa loi de probabilité est donnée par les probabilités P(X=x_i).
• Caractéristiques d’une v.a. :
  • Espérance : E(X) = Σ x_i × P(X=x_i).
  • Variance : V(X) = E(X²) – [E(X)]².
  • Écart-type : σ(X) = √V(X).
• Loi Binomiale B(n;p) : Modélise le nombre de succès lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p.
  • Pour k succès : P(X=k) = C_n^k × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Espérance : E(X)=np ; Variance : V(X)=np(1-p).

Conseil pour l’examen : Maîtrisez les définitions et formules fondamentales (probabilité conditionnelle, incompatibilité, indépendance, loi binomiale). Entraînez-vous régulièrement sur des exercices types pour bien assimiler les méthodes de calcul.