Structures algébriques – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé des exercices sur les Lois de Composition Interne

Ce document présente une série d’exercices sur les structures algébriques, plus précisément sur les lois de composition interne, destinés aux élèves de 2ème BAC Sciences Mathématiques. Les exercices visent à renforcer la compréhension et l’application des concepts fondamentaux.

Concepts et Définitions Clés :

• Loi de composition interne : Une opération qui associe à tout couple d’éléments d’un ensemble E un élément du même ensemble E.
• Propriétés étudiées : La commutativité, l’associativité, l’existence d’un élément neutre et d’éléments symétrisables.
• Partie stable : Un sous-ensemble d’un ensemble muni d’une loi qui reste fermé pour cette loi.
• Morphisme : Une application entre deux ensembles munis de lois qui préserve la structure de ces lois.

Types d’Exercices et Conseils pour l’Examen :

• Vérification des propriétés : Plusieurs exercices demandent de prouver qu’une loi donnée est interne, commutative, associative, ou de déterminer son élément neutre et les éléments symétrisables (Ex: 5, 6, 7, 8, 20, 21).
• Manipulation matricielle : Des exercices impliquent le calcul de puissances de matrices et l’étude de leur inversibilité (Ex: 3, 9, 10).
• Stabilité d’une partie : Il s’agit de montrer qu’un sous-ensemble est stable pour une loi donnée (Ex: 4, 11).
• Preuve de morphismes : Plusieurs problèmes consistent à démontrer qu’une application donnée est un morphisme entre deux structures algébriques (Ex: 12 à 19, 23, 24).
• Conseil pratique : Pour les lois définies par une formule, vérifiez systématiquement les propriétés en utilisant les définitions. Pour les morphismes, appliquez la condition f(x*y) = f(x) *’ f(y). La pratique régulière de ces exercices types est essentielle pour maîtriser le chapitre.