Structures algébriques – Cours

Résumé et Points Clés

Structures algébriques – Lois de composition interne : Résumé

Ce cours introduit la notion fondamentale de loi de composition interne, essentielle pour l’étude des structures algébriques en 2ème BAC Sciences maths.

Définition clé : Soit E un ensemble non vide. Une loi de composition interne sur E est une application de E × E dans E. Elle associe à tout couple (x, y) d’éléments de E un unique élément de E, noté par exemple x∗y, x⊥y ou x⊻y.

Exemples et contre-exemples importants :

• Lois internes : L’addition (+) et la multiplication (×) dans ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ. L’union (∪), l’intersection (∩) et la différence symétrique (Δ) dans l’ensemble des parties d’un ensemble 𝒫(E). L’addition et la multiplication dans ℤ/nℤ, dans l’ensemble des polynômes ℝ_n[X], dans l’ensemble des fonctions ℱ(I, ℝ), et la composition (∘) dans l’ensemble des applications ℱ(E,E).
• Non lois internes : La soustraction n’est pas interne dans ℕ. La division n’est pas interne dans ℝ (mais elle l’est dans ℝ*). Le produit scalaire n’est pas interne dans l’ensemble des vecteurs du plan V₂.

Autres ensembles et lois étudiés : Les translations (T), les homothéties de même centre (H_O), les rotations de même centre (R_O), et les transformations du plan (𝒯), où la composition est une loi interne. Les matrices carrées d’ordre 2 (M₂(ℝ)) et d’ordre 3 (M₃(ℝ)) avec l’addition et la multiplication matricielles.

Conseils pour les examens :

• Maîtriser la définition formelle et savoir reconnaître si une opération donnée est une loi interne sur un ensemble.
• Savoir justifier par un contre-exemple lorsqu’une opération n’est pas interne (ex: 2-3 ∉ ℕ).
• Être capable de manipuler les différents exemples (ensembles numériques, polynômes, fonctions, matrices) et de vérifier le caractère interne d’une loi définie de manière inhabituelle (comme dans l’exemple sur ]-1, 1[).
• Pour les matrices, connaître les définitions de la somme, du produit et les matrices particulières (matrice unité I₂, matrice nulle).