Arithmétique – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé des exercices d’arithmétique

Ce document est une série d’exercices d’arithmétique destinée aux élèves de 2ème année du baccalauréat scientifique (sciences maths). Il couvre les concepts fondamentaux de la divisibilité, des nombres premiers, du PGCD, des congruences et de la résolution d’équations dans les entiers.

Concepts et définitions clés :

• Divisibilité : Recherche des diviseurs d’un nombre, propriétés de la relation de divisibilité (ex: si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire de b et c).
• Nombres premiers : Tests de primalité, forme spécifique des nombres premiers (ex: p = 6n + 1 ou p = 6n + 5).
• PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : Calcul, propriétés (comme PGCD(a, b) = PGCD(b, a-b)), et lien avec l’algorithme d’Euclide.
• Congruences : Calcul du reste d’une division euclidienne, recherche du chiffre des unités, résolution d’équations modulaires.
• Équations diophantiennes : Résolution d’équations à solutions entières (ex: dans ℕ² ou ℤ²).

Conseils pour les examens :

• Maîtriser les démonstrations classiques de divisibilité et les propriétés du PGCD.
• Pour les problèmes de congruences, chercher des cycles périodiques (par exemple, pour les puissances de 3 modulo 10).
• Dans les équations avec paramètres, utiliser astucieusement les combinaisons linéaires pour faire apparaître des divisibilités.
• Pour prouver qu’un nombre est premier, tester sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée.
• L’entraînement régulier sur des exercices variés est essentiel pour assimiler les techniques de raisonnement en arithmétique.