Arithmétique – Cours

Résumé et Points Clés

L’Arithmétique est l’étude des propriétés des nombres entiers (ℤ). Le cours aborde plusieurs notions fondamentales.

Divisibilité dans ℤ : Un entier b divise a (noté b|a) s’il existe un entier k tel que a = kb. Les propriétés clés incluent la transitivité (si a|b et b|c alors a|c) et la combinaison linéaire (si a|m et a|n alors a|(αm+βn)).

Division Euclidienne : Pour tout entier a et b (b≠0), il existe un unique couple (q, r) tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|. q est le quotient et r le reste.

Nombres Premiers : Un entier p > 1 est premier s’il n’admet que 1 et lui-même comme diviseurs positifs. Un nombre non premier admet un diviseur premier p tel que p² ≤ n (critère utile pour vérifier la primalité). L’ensemble des nombres premiers est infini.

PGCD et Algorithme d’Euclide : Le Plus Grand Commun Diviseur de a et b (noté a∧b) est le plus grand entier les divisant tous deux. Deux nombres sont premiers entre eux si a∧b=1. L’algorithme d’Euclide permet de le calculer par divisions successives ; le PGCD est le dernier reste non nul.

PPCM : Le Plus Petit Commun Multiple de a et b (noté a∨b) est le plus petit multiple strictement positif commun. On a la relation : (a∧b) × (a∨b) = |ab|.

Congruence modulo n : a ≡ b [n] si n divise (b-a). Cela signifie que a et b ont le même reste dans la division par n. La congruence est compatible avec l’addition et la multiplication, un outil puissant pour déterminer des restes ou prouver des divisibilités.

Classes d’équivalence (ℤ/nℤ) : L’ensemble des entiers congrus à un reste r modulo n forme une classe, notée r̄. On peut y définir une addition et une multiplication.

Décomposition en facteurs premiers (Théorème fondamental de l’arithmétique) : Tout entier naturel > 1 s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme un produit de puissances de nombres premiers.

Conseils pour les examens :

• Maîtrisez les définitions de base (divisibilité, nombre premier, PGCD, congruence).
• Entraînez-vous sur l’algorithme d’Euclide et les calculs de PGCD/PPCM.
• Pour les problèmes de divisibilité, pensez à utiliser les propriétés des congruences.
• Pour montrer qu’un nombre est premier, utilisez le critère : vérifier l’absence de diviseur premier p ≤ √n.
• Dans les exercices, la combinaison linéaire (αa + βb) est souvent la clé pour trouver les diviseurs communs.