Nombres complexes (Partie 2) – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : Nombres complexes (Partie 2) – Résumé du Cours

Ce résumé couvre la seconde partie du cours sur les nombres complexes pour la 2ème année Bac Sciences maths, axée sur l’interprétation géométrique, la forme exponentielle et les transformations.

Concepts et Définitions Clés :

• Arguments et Interprétations Géométriques : Les arguments des nombres complexes permettent de caractériser des configurations géométriques (alignement, orthogonalité, parallélisme, cocyclicité) dans le plan. Par exemple, trois points A, B, C sont alignés si l’argument de (c-a)/(b-a) est congru à 0 modulo π.
• Forme Exponentielle : Tout complexe non nul z peut s’écrire z = r e^(iθ), où r est le module et θ un argument. Cette forme simplifie les calculs de produits, quotients et puissances (Formule de Moivre : (cosθ + i sinθ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)).
• Équations du Second Degré dans ℂ : La résolution suit la méthode du discriminant (Δ = b² – 4ac). Si Δ ≠ 0, les solutions sont z = (-b ± δ)/(2a), où δ est une racine carrée de Δ. Si les coefficients sont réels et Δ < 0, les racines sont complexes conjuguées.
• Racines n-ièmes : Un complexe non nul a exactement n racines n-ièmes distinctes. Les racines n-ièmes de l’unité sont les complexes e^(2ikπ/n) pour k ∈ {0, 1, …, n-1}.
• Transformations du Plan Complexe : L’écriture complexe permet de décrire les translations (z’ = z + a), les homothéties (z’ = kz + ω(1-k)), les rotations (z’ = e^(iθ)(z – ω) + ω) et les transformations plus générales de la forme z’ = az + b.

Conseils pour les Examens :

• Maîtrisez le lien entre argument et configurations géométriques (alignement, orthogonalité, angles) pour résoudre les problèmes de géométrie dans le plan complexe.
• Utilisez la forme exponentielle pour simplifier les calculs de produits, quotients et surtout les puissances (Formule de Moivre).
• Pour les transformations, identifiez le type (translation, homothétie, rotation) en analysant les paramètres a et b dans l’expression z’ = az + b.
• Entraînez-vous régulièrement sur des exercices de calcul et d’application géométrique pour solidifier votre compréhension et votre rapidité.