Fonctions primitives et calcul intégral – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé du TD : Fonctions primitives et calcul intégral

Ce document est un ensemble d’exercices d’application sur les fonctions primitives, destiné aux élèves de Baccalauréat Sciences Mathématiques (BIOF). L’objectif est de maîtriser les techniques de recherche de primitives pour diverses fonctions.

Concepts et Définitions Clés :

• Une primitive d’une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\) est une fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x\) dans \(I\).
• L’ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle est représenté par \(F(x) + k\), où \(k\) est une constante réelle.
• Une condition nécessaire pour qu’une fonction admette une primitive sur un intervalle est sa continuité sur cet intervalle (voir Exercice 5).

Méthodes et Astuces pour les Examens :

• Formes directes : Utiliser les primitives usuelles des fonctions polynômes, trigonométriques et rationnelles simples.
• Reconnaissance de la forme \(u’ \times u^n\) : Une technique cruciale. Si \(f(x) = u'(x) \times [u(x)]^n\), alors une primitive est de la forme \(\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + k\) (pour \(n \neq -1\)).
• Linéarisation : Pour les fonctions trigonométriques de puissances (ex: \(\cos^4 x\), \(\sin^3 x\)), utiliser les formules de duplication (\(cos^2x = \frac{1+cos2x}{2}\)) pour se ramener à une forme intégrable.
• Fractions rationnelles : Pour les fonctions de la forme \(\frac{P(x)}{ax^2+bx+c}\) :
  • Si le discriminant \(\Delta < 0\), on cherche à se ramener à la forme \(\frac{u'}{1+u^2}\) pour faire apparaître une primitive en \(arctan\).
  • Si \(\Delta = 0\), on se ramène souvent à la forme \(\frac{u’}{u^2}\).
• Condition initiale : Pour trouver la primitive unique vérifiant \(F(x_0) = y_0\), on détermine la constante \(k\) en résolvant l’équation.

Le proverbe “C’est en forgeant que l’on devient forgeron” souligne l’importance de la pratique régulière de ces exercices pour assimiler les méthodes.