Nombres complexes (Partie 1) – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé des exercices sur les nombres complexes (Partie 1)

Cette série d’exercices, destinée aux élèves de 2ème BAC Sciences maths, couvre les concepts fondamentaux des nombres complexes. Les exercices visent à renforcer la maîtrise des différentes formes des nombres complexes et leurs applications géométriques dans le plan.

Concepts et définitions clés :

• Forme algébrique : Un nombre complexe s’écrit z = a + ib, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire.
• Conjugué et module : Le conjugué de z = a + ib est ̅z = a – ib. Le module est |z| = √(a² + b²).
• Forme trigonométrique : z = r(cosθ + i sinθ), où r est le module et θ un argument.
• Affixe d’un point et d’un vecteur : Tout point M du plan a pour affixe un nombre complexe. L’affixe du vecteur AB est z_B – z_A.

Types d’exercices principaux :

• Calcul de la forme algébrique, de la partie réelle et imaginaire (Ex: 1, 8).
• Résolution d’équations dans ℂ (Ex: 9, 11).
• Détermination du module et de l’argument, passage à la forme trigonométrique (Ex: 14, 15, 23, 27).
• Applications géométriques : alignement de points, parallélogramme, triangles (rectangle, équilatéral), ensembles de points (Ex: 2, 3, 4, 17, 18, 19, 20).
• Manipulation des propriétés des conjugués et des modules pour démontrer qu’un complexe est réel ou imaginaire pur (Ex: 5, 6, 12).

Conseils pour les examens :

• Maîtriser les techniques de calcul algébrique (développement, conjugaison).
• Pour la géométrie, bien associer les propriétés des complexes (affixe, module, argument) aux configurations du plan (alignement, parallélisme, distances, angles).
• Pour les ensembles de points, passer par l’expression z = x + iy pour identifier une équation cartésienne.
• Pour la forme trigonométrique, savoir calculer le module et déterminer un argument à l’aide du cercle trigonométrique.