Nombres complexes (Partie 1) – Cours

Résumé et Points Clés

Titre : Nombres complexes (Partie 1) – Résumé du Cours

Ce cours introduit l’ensemble des nombres complexes, noté ℂ. Un nombre complexe z s’écrit de manière unique sous sa forme algébrique : z = a + ib, où a et b sont des réels, i est tel que i² = -1. a est la partie réelle (Re(z)) et b la partie imaginaire (Im(z)).

Propriétés clés et ensembles :

• ℝ ⊂ ℂ. Un complexe est réel si Im(z)=0.
• Un complexe est un imaginaire pur si Re(z)=0 (ensemble iℝ).
• ℂ n’est pas ordonné.
• Égalité : a+ib = a’+ib’ ⇔ a=a’ et b=b’.

Opérations dans ℂ (forme algébrique) :

• Addition : (a+ib) + (a’+ib’) = (a+a’) + i(b+b’). (ℂ,+) est un groupe commutatif.
• Multiplication : (a+ib)×(a’+ib’) = (aa’ – bb’) + i(ab’ + ba’). (ℂ*,×) est un groupe commutatif.
• La multiplication est distributive sur l’addition. (ℂ,+,×) est un corps commutatif.
• Les règles de calcul algébrique (puissances, identités remarquables, binôme de Newton, somme géométrique) restent valables.

Interprétation géométrique : Le plan muni d’un repère orthonormé est un plan complexe.

• À tout complexe z=a+ib correspond un point unique M(a,b) (son image) et un vecteur 𝑢⃗(𝑎,𝑏).
• z est l’affixe du point M (noté z_M) ou du vecteur 𝑢⃗.
• L’axe des abscisses est l’axe des réels, celui des ordonnées l’axe des imaginaires purs.
• Affixe d’un vecteur : 𝑧(𝐴𝐵⃗) = z_B – z_A.
• Affixe d’un barycentre : Formules classiques appliquées aux affixes.

Conseils pour les examens : Maîtrisez la forme algébrique et les règles de calcul pour les opérations. Pour la géométrie, associez systématiquement l’affixe d’un point ou d’un vecteur à ses coordonnées. Utilisez les propriétés des affixes pour démontrer des alignements, des parallélismes ou pour calculer des coordonnées de points (milieu, barycentre).