Équations différentielles – Exercices

Résumé et Points Clés

Équations différentielles – Résumé des concepts clés

Une équation différentielle d’ordre n est une relation liant une variable réelle x, une fonction inconnue y(x) et ses dérivées jusqu’à l’ordre n. Pour simplifier, on note souvent y au lieu de y(x).

Équation du premier ordre : y’ = ay + b

• Pour l’équation y’ = ay (a ∈ ℝ*), la solution générale est y(x) = λe^ax, où λ est une constante réelle.
• Pour l’équation y’ = ay + b (a ∈ ℝ*, b ∈ ℝ), la solution générale est y(x) = λe^ax – b/a. La constante λ peut être déterminée par une condition initiale (ex: y(x₀)=y₀).

Équations du second ordre à coefficients constants : ay” + by’ + cy = 0

On associe l’équation caractéristique : ar² + br + c = 0. La forme des solutions dépend du discriminant Δ = b² – 4ac :

• Δ > 0 : Deux racines réelles distinctes r₁ et r₂. Solution : y(x) = Ae^r₁x + Be^r₂x.
• Δ = 0 : Une racine double r. Solution : y(x) = (Ax + B)e^rx.
• Δ < 0 : Deux racines complexes conjuguées p ± iq. Solution : y(x) = e^px(A cos(qx) + B sin(qx)).

Conseils pour les examens : Identifiez toujours l’ordre de l’équation. Pour le premier ordre linéaire, appliquez directement la formule de solution générale. Pour le second ordre, commencez toujours par écrire et résoudre l’équation caractéristique. N’oubliez pas d’utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes d’intégration.