Équations différentielles – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du cours sur les équations différentielles

Ce document est un recueil d’exercices corrigés sur les équations différentielles pour le niveau 2BAC Sciences Mathématiques. Il couvre les principaux types d’équations et les méthodes de résolution associées.

Concepts et Définitions Clés :

• Équation différentielle du premier ordre : de la forme y’ = ay ou y’ = ay + b. La solution générale est y(x) = λe^(ax) – b/a (pour y’=ay+b).
• Équation différentielle du second ordre à coefficients constants : de la forme y” + py’ + qy = 0. La résolution passe par l’équation caractéristique r² + pr + q = 0.
  • Si Δ > 0 : deux racines réelles r1 et r2. Solution : y(x) = αe^(r1x) + βe^(r2x).
  • Si Δ = 0 : une racine double r0. Solution : y(x) = (αx + β)e^(r0x).
  • Si Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées p ± iq. Solution : y(x) = e^(px)(α cos(qx) + β sin(qx)).
• Problème de Cauchy : Il s’agit de trouver une solution particulière vérifiant des conditions initiales données (e.g., y(x0)=a, y'(x0)=b). On détermine les constantes (λ, α, β) en résolvant un système.

Conseils pour les examens :

• Identifiez toujours le type d’équation (premier ou second ordre, avec ou sans second membre) pour appliquer la méthode adéquate.
• Pour les équations du second ordre, commencez toujours par écrire et résoudre l’équation caractéristique.
• Lors de la recherche d’une solution particulière avec conditions initiales, vérifiez soigneusement vos calculs des constantes.
• Entraînez-vous sur des exercices variés, car la maîtrise vient de la pratique régulière, comme le souligne le proverbe cité : “C’est en forgeant que l’on devient forgeron”.