Fonctions exponentielles – Exercices

Résumé et Points Clés

Fonctions exponentielles – Résumé

Ce document pédagogique traite des fonctions exponentielles, en se concentrant sur la fonction exponentielle népérienne et les fonctions exponentielles de base a.

I. La fonction exponentielle népérienne

• Définition : C’est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien (ln). Elle est notée exp ou e^x.
• Propriétés algébriques clés : Pour tous réels x et y : e^x+y = e^x × e^y, e^-x = 1/e^x, ln(e^x) = x (pour x>0, e^{ln x} = x).
• Équations et inéquations : On utilise la propriété : e^x = e^y ⇔ x = y et e^x ≤ e^y ⇔ x ≤ y.
• Limites usuelles à connaître : lim_x→+∞ e^x = +∞, lim_x→-∞ e^x = 0, lim_x→+∞ (e^x/x) = +∞.
• Dérivée : La fonction exp est dérivable sur ℝ et sa dérivée est elle-même : (exp(x))’ = exp(x). Si u est dérivable, (e^u(x))’ = u'(x) e^u(x).
• Représentation graphique : Sa courbe est symétrique à celle de la fonction ln par rapport à la droite y=x.

II. La fonction exponentielle de base a (a>0, a≠1)

• Définition : C’est la fonction réciproque du logarithme de base a, notée exp_a. On a l’écriture : exp_a(x) = e^{x ln(a)} = a^x.
• Dérivée et variations : (exp_a(x))’ = ln(a) * a^x. La fonction est strictement croissante si a>1 et strictement décroissante si 0
• Propriété caractéristique : a^x+y = a^x × a^y.

Conseils pour les exercices et examens

• Maîtrisez les propriétés algébriques fondamentales pour simplifier les expressions et résoudre équations/inéquations.
• Pour les limites, identifiez les formes indéterminées et utilisez les limites usuelles fournies.
• Pour la dérivation, appliquez correctement la formule de la dérivée d’une exponentielle composée.
• Lors de l’étude d’une fonction, vérifiez systématiquement la continuité, la dérivabilité, les limites aux bornes et les variations.
• Pour les représentations graphiques, utilisez la symétrie avec la fonction ln (pour exp) et l’asymptote horizontale y=0 (pour a^x quand x→+∞ si 01).