Fonctions exponentielles – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du Cours sur les Fonctions Exponentielles

Ce document est une série d’exercices sur les fonctions exponentielles, destinée aux élèves de Bac Sciences Mathématiques. Il couvre les principaux aspects du programme, avec un accent sur la résolution de problèmes types.

Concepts et Définitions Clés :

• La fonction exponentielle de base e, notée exp(x) ou e^x, est fondamentale. Ses propriétés (dérivée égale à elle-même, limites, croissance) sont largement utilisées.
• Les exercices abordent la résolution d’équations et d’inéquations exponentielles, souvent en utilisant le changement de variable (par exemple, poser X = e^x).
• L’étude complète de fonctions incluant l’exponentielle est un pilier : calcul de limites, dérivées, variations, branches infinies (asymptotes), convexité et représentation graphique.
• Le calcul de primitives de fonctions faisant intervenir l’exponentielle est également traité.
• Des problèmes plus avancés explorent la continuité, la dérivabilité (notamment en 0), les fonctions réciproques et l’étude de suites définies par des relations exponentielles.

Conseils pour les Examens :

• Maîtriser les propriétés algébriques : e^(a+b)=e^a * e^b, e^(a-b)=e^a/e^b, (e^a)^b = e^(ab). Elles sont essentielles pour simplifier les équations.
• Penser au changement de variable pour résoudre les équations du type a*e^(2x) + b*e^x + c = 0. Cela les ramène à une équation du second degré.
• Pour les limites, connaître les croissances comparées : en +∞, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x. En -∞, e^x tend vers 0.
• Dans les études de fonctions, soigner l’analyse de la dérivée et des limites aux bornes du domaine pour établir un tableau de variations précis.
• Pour les primitives, reconnaître les formes de type u’ * e^u dont une primitive est e^u.
• L’interprétation géométrique des résultats (tangente, asymptote, position relative) est souvent demandée et doit être clairement rédigée.