Fonctions logarithmiques – Cours

Résumé et Points Clés

Fonctions logarithmiques – Résumé

Ce cours traite principalement de la fonction logarithme népérien (ln) et des fonctions logarithmiques de base a (Log_a).

I. La fonction logarithme népérienne (ln)

• Définition : C’est la primitive de la fonction x ↦ 1/x sur ]0, +∞[ qui s’annule en 1. Elle est notée ln.
• Propriétés clés :
  • Définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0, +∞[.
  • Dérivée : ln'(x) = 1/x pour x > 0.
  • Propriété caractéristique : ln(x × y) = ln(x) + ln(y) pour tous x, y > 0.
  • Règles de calcul : ln(1/x) = -ln(x) ; ln(x/y) = ln(x) – ln(y) ; ln(x^r) = r ln(x) pour r ∈ ℚ.
• Limites importantes :
  • lim_x→0+ ln x = -∞ (asymptote verticale x=0).
  • lim_x→+∞ ln x = +∞.
  • lim_x→+∞ (ln x)/x = 0.
  • lim_x→1 (ln x)/(x-1) = 1.
• Le nombre e : C’est l’unique réel tel que ln(e) = 1.
• Dérivée de ln(u(x)) : Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors la dérivée de ln(u(x)) est u'(x)/u(x).

II. Fonctions logarithmiques de base a (Log_a)

• Définition : Pour a > 0, a ≠ 1, Log_a(x) = ln(x) / ln(a) pour tout x > 0.
• Propriétés : Elle hérite des mêmes règles de calcul que ln (transformation des produits en sommes, etc.).
• Dérivée : Log_a‘(x) = 1/(x ln(a)).

Conseils pour les examens

• Maîtriser les propriétés algébriques fondamentales (transformation des produits en sommes) pour simplifier les expressions et résoudre équations/inéquations.
• Connaître parfaitement les limites de référence, essentielles pour le calcul de limites composées.
• Pour la dérivation, bien appliquer la formule de la dérivée d’une composition : (ln(u(x)))’ = u'(x)/u(x).
• Pour les primitives, se souvenir que les primitives de u'(x)/u(x) sont de la forme ln|u(x)| + C.