Suites numériques – Cours

Résumé et Points Clés

Suites numériques – Résumé

Ce cours aborde les suites numériques, en se concentrant sur deux types principaux et leurs propriétés fondamentales.

I. Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques

• Suite arithmétique : Définie par la relation de récurrence \(u_{n+1} = u_n + r\). Son terme général est \(u_n = u_p + (n-p)r\). La somme de termes consécutifs est \(S = \frac{(n-p+1)}{2}[u_p + u_n]\). Elle est croissante si \(r \ge 0\), décroissante si \(r \le 0\).
• Suite géométrique : Définie par la relation \(v_{n+1} = q v_n\). Son terme général est \(v_n = v_p \times q^{n-p}\). La somme de termes consécutifs (pour \(q \neq 1\)) est \(S = v_p \frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}\). Sa monotonie dépend de \(q\).

II. Majoration, minoration et monotonie

• Une suite est majorée s’il existe un réel \(M\) tel que pour tout \(n\), \(u_n \le M\). Elle est minorée s’il existe un réel \(m\) tel que \(u_n \ge m\). Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Une suite est croissante si pour tout \(n\), \(u_{n+1} \ge u_n\), et décroissante si \(u_{n+1} \le u_n\).

III. Limite d’une suite

• Définitions : Une suite tend vers \(+\infty\) si ses termes dépassent tout réel positif à partir d’un certain rang. Elle tend vers un réel \(l\) si la différence \(|u_n – l|\) devient arbitrairement petite. Une suite avec une limite finie est convergente, sinon elle est divergente.
• Théorèmes clés : Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est convergente. La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
• Opérations sur les limites : Des tableaux résument les règles pour la somme, le produit et le quotient. Attention aux formes indéterminées (comme \(\infty – \infty\) ou \(0 \times \infty\)).
• Techniques de calcul : Utiliser l’expression explicite \(u_n = f(n)\) et la limite de \(f\) en \(+\infty\). Appliquer le théorème de comparaison (si \(v_n \le u_n\) et \(\lim v_n = +\infty\), alors \(\lim u_n = +\infty\)). Connaître les limites de référence : si \(q > 1\), \(\lim q^n = +\infty\) ; si \(|q| < 1\), \(\lim q^n = 0\).

Conseils pour les examens : Maîtrisez les formules des suites arithmétiques et géométriques. Pour étudier une suite récurrente, analysez souvent sa monotonie et ses bornes pour prouver sa convergence. Identifiez et évitez les formes indéterminées dans les calculs de limites. Utilisez les théorèmes de comparaison et les limites de référence \((n^k, q^n)\) pour lever les indéterminations.