Théorème des Accroissements Finis (TAF) – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé : Théorème des Accroissements Finis (TAF) – Exercices

Ce document pédagogique présente deux théorèmes fondamentaux de l’analyse : le Théorème de Rolle et le Théorème des Accroissements Finis (TAF), ainsi que leurs applications à travers des exercices.

Concepts et Définitions Clés :

• Théorème de Rolle : Soit une fonction \(f\) continue sur \([a, b]\), dérivable sur \(]a, b[\) et telle que \(f(a) = f(b)\). Alors, il existe au moins un réel \(c\) dans \(]a, b[\) tel que \(f'(c) = 0\). Ce théorème garantit l’existence d’au moins un point où la tangente est horizontale.
• Théorème des Accroissements Finis (TAF) : Soit une fonction \(f\) continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\). Alors, il existe au moins un réel \(c\) dans \(]a, b[\) tel que \(f(b) – f(a) = f'(c)(b – a)\). Ce théorème relie le taux de variation global sur un intervalle au taux de variation instantané (la dérivée) en un point intérieur.
• Inégalité des Accroissements Finis (IAF) : Si la dérivée \(f’\) est bornée sur un intervalle (\(m \leq f'(x) \leq M\)), alors la variation de la fonction est encadrée : \(m(b-a) \leq f(b)-f(a) \leq M(b-a)\). Un cas particulier important est lorsque \(|f'(x)| \leq k\), ce qui implique \(|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|\).

Points Méthodologiques et Conseils pour les Examens :

• Pour appliquer le théorème de Rolle, il est impératif de vérifier les trois hypothèses : continuité sur l’intervalle fermé, dérivabilité sur l’intervalle ouvert, et égalité des valeurs aux bornes (\(f(a)=f(b)\)). L’absence d’une seule de ces conditions invalide le théorème.
• Le TAF est un outil puissant pour :
  • Démontrer des inégalités (comme \(|\sin x| \leq |x|\)).
  • Encadrer des valeurs (comme une racine carrée).
  • Calculer certaines limites en utilisant un changement de variable astucieux.
• Les exercices types montrent comment utiliser ces théorèmes pour :
  • Prouver qu’une dérivée s’annule sur un intervalle (application directe de Rolle).
  • Déterminer le nombre de solutions d’une équation (en appliquant plusieurs fois le théorème de Rolle sur des sous-intervalles).
  • Transformer un problème complexe en un problème de Rolle en définissant une fonction auxiliaire adaptée.
• Attention : Le point \(c\) dont l’existence est garantie par les théorèmes n’est pas unique en général. L’objectif est de prouver son existence, pas de le calculer explicitement.