Théorème des Accroissements Finis (TAF) – Cours

Résumé et Points Clés

Théorème des Accroissements Finis (TAF) – Résumé

Ce document est un ensemble d’exercices d’application et de réflexion sur le Théorème de Rolle et le Théorème des Accroissements Finis (TAF), destiné aux élèves de Baccalauréat Sciences Mathématiques (BIOF).

Concepts Clés :

• Théorème de Rolle : Si une fonction \(f\) est continue sur \([a, b]\), dérivable sur \(]a, b[\) et vérifie \(f(a) = f(b)\), alors il existe au moins un réel \(c\) dans \(]a, b[\) tel que \(f'(c) = 0\).
• Théorème des Accroissements Finis (TAF) : Si une fonction \(f\) est continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\), alors il existe au moins un réel \(c\) dans \(]a, b[\) tel que \(f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}\).
• Inégalité des Accroissements Finis (I.A.F) : Si la dérivée \(f’\) est bornée sur un intervalle (\(|f'(x)| \leq M\)), alors pour tous \(a\) et \(b\) dans cet intervalle, on a \(|f(b) – f(a)| \leq M |b – a|\).

Types d’Exercices et Conseils pour l’Examen :

• Preuve de l’existence d’un zéro pour la dérivée : Vérifiez systématiquement les hypothèses de continuité et de dérivabilité, puis cherchez un intervalle où la fonction prend les mêmes valeurs aux bornes pour appliquer le théorème de Rolle (Exercices 1, 2, 3, 4).
• Utilisation du TAF pour les calculs de limites : Le TAF permet de transformer un taux d’accroissement en une valeur de la dérivée en un point intermédiaire, ce qui simplifie souvent le calcul de limites (Exercice 6).
• Application de l’I.A.F pour les encadrements et inégalités : Pour majorer ou minorer une différence \(f(b) – f(a)\), majorez la valeur absolue de la dérivée sur l’intervalle (Exercices 7, 8, 9).
• Étude de suites définies par récurrence : Le TAF peut être utilisé pour analyser la convergence d’une suite en majorant \(|u_{n+1} – \alpha|\) par une constante inférieure à 1 multipliée par \(|u_n – \alpha|\) (Exercices 10, 11).
• Astuce générale : Pour prouver l’existence d’un point \(c\) vérifiant une équation complexe \(f'(c) = g(c)\), pensez à définir une fonction auxiliaire \(h(x)\) dont la dérivée s’annulerait en \(c\) (Exercice 5). Vérifiez toujours soigneusement les hypothèses de chaque théorème avant de l’appliquer.