Dérivation et étude des fonctions – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : Dérivation et étude des fonctions – Résumé des concepts clés

Ce document présente les fondamentaux de la dérivation. La dérivabilité d’une fonction f en un point a est définie par l’existence d’une limite finie du taux d’accroissement. On distingue la dérivabilité à droite et à gauche, et une fonction est dérivable en a si et seulement si ces deux dérivées latérales existent et sont égales.

Concepts et définitions essentiels :

• Nombre dérivé et fonction dérivée : Le nombre dérivé f'(a) est cette limite. La fonction qui à tout x associe f'(x) est la fonction dérivée.
• Fonction affine tangente : Si f est dérivable en a, sa meilleure approximation affine au voisinage de a est la tangente d’équation y = f'(a)(x – a) + f(a).
• Lien entre dérivabilité et continuité : Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point. La réciproque est fausse (exemple : |x| en 0).

Opérations et règles de calcul :

• Des tableaux récapitulent les dérivées des fonctions usuelles (puissance, racine, trigonométrie) et les formules de dérivation (somme, produit, quotient, composée).
• Théorème de dérivation des fonctions composées : (g ∘ f)'(a) = g'(f(a)) × f'(a).
• Dérivation de la fonction réciproque : Sous certaines conditions, (f⁻¹)'(x) = 1 / f'(f⁻¹(x)).

Conseils pour les exercices et examens :

• Pour prouver la dérivabilité en un point, utilisez la définition avec la limite du taux d’accroissement, en calculant séparément les limites à droite et à gauche si nécessaire.
• Pour les fonctions définies par morceaux ou avec une valeur absolue, l’étude de la dérivabilité aux points de raccordement ou de changement d’expression est cruciale.
• Maîtrisez l’interprétation géométrique : la dérivée en un point est le coefficient directeur de la tangente (ou de la demi-tangente) à la courbe en ce point.
• N’oubliez pas que la continuité est un prérequis pour la dérivabilité, mais ne la garantit pas.