Dérivation et étude des fonctions – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du Cours : Dérivation et Étude des Fonctions

Ce document est un TD d’applications sur la dérivation et l’étude des fonctions pour le niveau Bac Sciences Mathématiques (BIOF). Il propose une série d’exercices visant à maîtriser les concepts clés du calcul différentiel et leurs applications à l’analyse des fonctions.

Concepts et Thèmes Principaux :

• Étude des variations : Calcul de la dérivée première \( f'(x) \) pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction. Construction du tableau de variations.
• Recherche des extremums : Identification des maxima et minima (relatifs ou absolus) en étudiant le signe de la dérivée et les points où elle s’annule.
• Dérivabilité et interprétation géométrique : Analyse de la dérivabilité en un point (à droite, à gauche). Lien avec l’existence d’une tangente au point correspondant sur la courbe.
• Étude complète de fonction : Processus incluant la détermination du domaine de définition \( D_f \), le calcul des limites et des branches infinies (asymptotes), l’étude de la dérivabilité, des variations, et la représentation graphique \( (C_f) \).
• Propriétés géométriques des courbes : Recherche d’axes ou de centres de symétrie pour la courbe représentative.
• Convexité et points d’inflexion : Utilisation de la dérivée seconde \( f”(x) \) pour étudier la concavité de la courbe et déterminer les points d’inflexion.
• Fonctions trigonométriques : Application des techniques de dérivation et d’étude à des fonctions faisant intervenir sin, cos, et à la prise en compte de la périodicité.

Conseils pour les Examens :

• Commencez toujours par déterminer correctement le domaine de définition \( D_f \) de la fonction.
• Pour l’étude des variations, établissez soigneusement le signe de la dérivée première \( f'(x) \). Un tableau de signes bien construit est essentiel.
• Lors de la recherche d’extremums, vérifiez que la dérivée s’annule et change de signe au point critique.
• Pour les questions de symétrie, pensez à utiliser les changements de variable appropriés (comme \( X = x – a \) pour un axe de symétrie \( x = a \)).
• Entraînez-vous régulièrement sur des exercices types couvrant toutes ces étapes pour automatiser la méthodologie.