Limites et continuité - Cours

Limites et continuité – Cours

Limites et Continuité – Résumé

Ce cours aborde les concepts de limite et de continuité des fonctions numériques, essentiels pour l’analyse.

I. Continuité en un point

Définition : Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si elle est définie en \(a\) et si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Cela signifie que la limite à gauche et à droite existe et est égale à la valeur de la fonction.
Interprétation graphique : La courbe de la fonction ne présente pas de “saut” au point d’abscisse \(a\).
Prolongement par continuité : Si une fonction \(f\) n’est pas définie en un point \(a\) mais y admet une limite finie \(l\), on peut définir une nouvelle fonction continue en \(a\) en posant \(f(a) = l\).

II. Continuité à droite et à gauche

Une fonction est continue à droite de \(a\) si \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\).
Elle est continue à gauche de \(a\) si \(\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\).
Théorème clé : Une fonction est continue en \(a\) si et seulement si elle est continue à droite ET à gauche en ce point.

III. Opérations et continuité sur un intervalle

Opérations : La somme, le produit, la valeur absolue, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) et la racine carrée (si la fonction est positive) de fonctions continues sont continues.
Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle. Les fonctions polynômes et les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb{R}\).

Conseils pour les examens :

Pour étudier la continuité en un point, vérifiez systématiquement trois conditions : la fonction est-elle définie en ce point ? La limite existe-t-elle ? La limite est-elle égale à la valeur de la fonction ?
Dans le cas des fonctions définies par morceaux, étudiez toujours séparément les limites à gauche et à droite au point de raccordement.
Maîtrisez les techniques de calcul de limites (factorisation, quantités conjuguées, limites trigonométriques remarquables) pour déterminer si un prolongement par continuité est possible.