Géométrie dans l’espace – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé : Géométrie dans l’espace – Positions relatives

Ce cours aborde les positions relatives de droites et de plans dans l’espace, à travers des exercices de construction et de démonstration.

Concepts et Méthodes clés :

• Intersection de deux plans : Deux plans sécants se coupent selon une droite. Pour la construire, on identifie un point commun et on applique parfois le théorème du toit (si deux plans contiennent chacun une droite parallèle, leur intersection est parallèle à ces droites).
• Section d’un solide par un plan : Pour construire la section d’un polyèdre (pyramide, tétraèdre) par un plan, on détermine successivement les intersections de ce plan avec chaque face. On utilise le fait que l’intersection de deux plans est une droite.
• Intersection d’une droite et d’un plan : Pour trouver le point d’intersection d’une droite (IJ) avec un plan (BCD), on utilise une méthode du plan auxiliaire (P). On choisit un plan (P) contenant la droite (IJ), on détermine sa droite d’intersection (Δ) avec le plan (BCD). Le point cherché est alors l’intersection de (IJ) et de (Δ).

Astuces pour les examens :

• Justifiez toujours chaque étape en citant les propriétés utilisées (appartenance à un plan, parallélisme, théorème du toit).
• Pour les constructions de section, commencez par les arêtes du solide qui coupent le plan sécant. Prolongez les traits si nécessaire.
• La méthode du plan auxiliaire est systématique pour trouver l’intersection d’une droite et d’un plan. Choisissez un plan auxiliaire judicieux (souvent passant par la droite et un sommet du solide).