Les polynômes – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : Les polynômes – Exercices

Ce document est une série d’exercices sur les polynômes, avec solutions, destinée au tronc commun scientifique. Les exercices couvrent plusieurs notions fondamentales.

Concepts et Définitions Clés :

• Polynôme : Expression algébrique de la forme aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Les exercices 1 et 6 enseignent à identifier un polynôme et à exclure les expressions contenant des variables sous un radical ou au dénominateur.
• Degré d’un polynôme : La plus grande puissance de la variable. Il est déterminé après simplification (ex: exercice 1 avec le paramètre ‘a’).
• Égalité de polynômes : Deux polynômes sont égaux s’ils ont le même degré et que les coefficients des termes de même degré sont identiques (exercices 3, 4, 5).
• Opérations : Addition, soustraction, multiplication (exercice 7). Une règle importante est que deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q).
• Racine d’un polynôme : Un nombre α est racine si P(α) = 0 (exercices 8, 9, 10, 11).
• Factorisation : Si α est racine, alors (x – α) est un facteur du polynôme. La factorisation se fait souvent via la division euclidienne (exercices 9, 10, 11, 12, 13).

Conseils pour les examens :

• Pour vérifier si une expression est un polynôme, assurez-vous que les exposants de la variable sont des entiers naturels et que la variable n’apparaît pas au dénominateur ou sous une racine.
• Pour trouver un polynôme vérifiant des conditions (ex: exercice 2), écrivez sa forme générale (ax²+bx+c) et utilisez les conditions pour établir un système d’équations.
• Pour prouver l’égalité P=Q, développez et réduisez les deux expressions, puis comparez les coefficients.
• Pour vérifier qu’un nombre est racine, calculez simplement P(α). Si le résultat est 0, c’est une racine.
• La factorisation est une étape cruciale. Si on trouve une racine α, effectuez la division euclidienne de P(x) par (x – α) pour trouver le quotient et ainsi factoriser.