Les polynômes – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du cours sur les polynômes

Un polynôme de degré n est une expression de la forme P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, où aₙ ≠ 0. Les réels aₙ, aₙ₋₁, …, a₀ sont les coefficients et a₀ est le terme constant. Le degré, noté d°(P), est la plus grande puissance de x.

Types de polynômes :

• Polynôme nul : tous les coefficients sont nuls (il n’a pas de degré).
• Polynôme du 1er degré : P(x) = ax + b (a≠0).
• Trinôme du 2nd degré : P(x) = ax² + bx + c (a≠0).

Égalité de deux polynômes : Deux polynômes P(x) et Q(x) sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux.

Opérations :

• Somme/Différence : Le degré est ≤ au plus grand des degrés des polynômes.
• Produit : Le degré est la somme des degrés.

Racine et factorisation : Un réel α est une racine (ou zéro) d’un polynôme P si P(α) = 0. Si α est une racine, alors P(x) est factorisable par (x – α). La loi du reste stipule que le reste de la division de P(x) par (x – a) est P(a). Si P(a)=0, alors (x – a) divise P(x).

Conseils pour les examens :

• Pour vérifier une égalité de polynômes, identifiez les coefficients de même degré.
• Pour factoriser, cherchez d’abord les racines évidentes (comme 1, -1, 2, -2) en testant P(α)=0.
• Utilisez la division euclidienne ou le schéma de Horner pour trouver le quotient après une factorisation par (x – α).
• Un polynôme de degré n peut avoir au maximum n racines réelles.