La projection dans le plan – Cours

Résumé et Points Clés

Titre : La projection dans le plan – Résumé des concepts clés

Ce cours traite de la projection sur une droite parallèlement à une autre droite. Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes. La projection d’un point M sur (D) parallèlement à (Δ) est le point M’, intersection de (D) avec la parallèle à (Δ) passant par M. La droite (Δ) est appelée direction de la projection.

Propriétés importantes :

• Tout point de la droite (D) est invariant (confondu avec son projeté).
• La projection d’un segment [AB] est le segment [A’B’].
• La projection conserve les milieux : si I est le milieu de [AB], alors son projeté I’ est le milieu de [A’B’].
• Un cas particulier est la projection orthogonale, lorsque (D) et (Δ) sont perpendiculaires.

Lien avec le théorème de Thalès :

• Théorème direct : Si A’, B’, C’ sont les projetés de A, B, C sur (D) parallèlement à (Δ), alors AB/AC = A’B’/A’C’.
• La projection conserve le coefficient d’alignement (si AB = k AC, alors A’B’ = k A’C’).
• Théorème réciproque : Il permet de démontrer qu’un point est le projeté d’un autre lorsque les rapports de Thalès sont vérifiés et que les points sont dans le même ordre.
• Plus généralement, la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

Conseils pour les examens :

• Maîtriser la définition et la construction du projeté d’un point.
• Identifier correctement la droite de projection et sa direction dans un exercice.
• Utiliser systématiquement les propriétés de conservation (milieux, rapports de Thalès, coefficients) pour simplifier les démonstrations.
• Dans les problèmes de géométrie, penser à appliquer le théorème réciproque de Thalès pour prouver un alignement ou un parallélisme lié à une projection.