Calcul vectoriel dans le plan – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du cours : Calcul vectoriel dans le plan

Ce cours introduit les concepts fondamentaux des vecteurs dans le plan. Un vecteur AB est défini par sa direction, son sens et sa norme (longueur). Le vecteur nul est noté 0.

Égalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, sens et norme. Une égalité vectorielle comme AB = CD équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme.

Opérations principales :

• Somme : Définie par la relation de Chasles : AB + BC = AC. La règle du parallélogramme permet aussi de construire graphiquement la somme.
• Multiplication par un réel : Le vecteur k * u a la même direction que u, un sens identique si k>0 ou opposé si k<0, et une norme multipliée par |k|.

Colinéarité : Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que u = k * v. Ce concept est crucial pour prouver :

• L’alignement de points (A, B, C alignés ⇔ AB et AC sont colinéaires).
• Le parallélisme de droites ((AB) // (CD) ⇔ AB et CD sont colinéaires).

Conseils pour les examens :

• Maîtrisez la relation de Chasles pour simplifier ou développer des expressions vectorielles.
• Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, prouvez une égalité vectorielle du type AB = DC.
• Pour montrer l’alignement de trois points, prouvez la colinéarité de deux vecteurs issus d’un point commun.
• Simplifiez toujours les expressions vectorielles en utilisant les propriétés de la multiplication par un réel avant de conclure.