Arithmétique dans IN – Exercices

Résumé et Points Clés

Titre : Arithmétique dans IN – Exercices

Ce document est une série d’exercices d’arithmétique dans l’ensemble des entiers naturels (IN), destinée au niveau Tronc Commun. Les exercices couvrent plusieurs notions fondamentales et techniques de démonstration.

Concepts et Définitions Clés :

• Parité : Déterminer si un nombre est pair ou impair. Les exercices utilisent des propriétés comme : la somme d’un pair et d’un impair est impaire, le produit de deux nombres consécutifs est pair.
• Divisibilité : Montrer qu’un nombre est un multiple d’un autre (ex : divisible par 5, 6, 3, 16). Les preuves reposent souvent sur la mise en facteur.
• Nombres consécutifs : Manipulation de suites d’entiers consécutifs (pairs, impairs, quelconques) pour étudier la parité ou la divisibilité de leur somme ou produit.
• Écriture et manipulation algébrique : Développement, factorisation (ex : n²-1 = (n-1)(n+1)), utilisation d’identités remarquables.
• Différence de carrés : Tout entier impair peut s’écrire comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs (ex : 2n+1 = (n+1)² – n²).

Types d’Exercices et Méthodes :

• Étude de la parité d’expressions en fonction d’un entier naturel n.
• Démonstrations de divisibilité en utilisant des formes algébriques (ex : n=5k+1).
• Calculs de PGCD et PPCM (notés ∧ et ∨).
• Décomposition en facteurs premiers et applications.
• Résolution de problèmes faisant intervenir des multiples et des diviseurs.

Conseils pour les Examens :

• Maîtriser les propriétés de base de la parité et de la divisibilité.
• Pour les démonstrations de divisibilité, penser à factoriser l’expression pour faire apparaître le multiple souhaité.
• Pour les problèmes sur les nombres consécutifs, les écrire sous la forme n, n+1, n+2, etc.
• Savoir utiliser la méthode de combinaison linéaire pour prouver que si deux combinaisons de nombres sont multiples de k, alors un nombre seul l’est aussi (voir exercice 2.6).
• Pour exprimer un nombre comme une différence de carrés, penser à la formule liée aux entiers impairs.