Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé : Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R

Ce cours présente les principaux ensembles de nombres en mathématiques, leurs définitions et leurs relations d’inclusion.

• N (entiers naturels) : Ensemble noté ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. ℕ* désigne ℕ privé de zéro.
• Z (entiers relatifs) : Ensemble noté ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Il inclut les entiers positifs (ℤ⁺), strictement positifs (ℤ⁺*), négatifs (ℤ⁻) et strictement négatifs (ℤ⁻*). On a ℕ ⊂ ℤ.
• D (nombres décimaux) : Ensemble noté 𝔻 des nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule. Ils peuvent s’écrire sous la forme a/10ᵖ avec a ∈ ℤ et p ∈ ℕ. On a ℤ ⊂ 𝔻.
• Q (nombres rationnels) : Ensemble noté ℚ des nombres pouvant s’écrire comme une fraction a/b avec a ∈ ℤ, b ∈ ℤ* (b ≠ 0). Leur développement décimal est périodique. On a 𝔻 ⊂ ℚ.
• R (nombres réels) : Ensemble noté ℝ qui regroupe les nombres rationnels (ℚ) et les nombres irrationnels (comme √2 ou π). On a la chaîne d’inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Règles de calcul et astuces pour les examens :

• Maîtriser les opérations sur les fractions (addition, soustraction, multiplication, division).
• Connaître la définition de la racine carrée (√x est le nombre positif dont le carré vaut x).
• Apprendre les identités remarquables (carré d’une somme/différence, cube d’une somme/différence, différence de deux carrés).
• Savoir manipuler les puissances de 10 et l’écriture scientifique (a × 10ⁿ, où 1 ≤ a < 10).
• Pour les examens, bien retenir la hiérarchie des ensembles (ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ) et savoir classer un nombre donné. Un nombre décimal a un développement décimal fini, tandis qu’un rationnel a un développement décimal périodique.