Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du cours sur les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R

Ce cours aborde les ensembles numériques fondamentaux et leurs relations, ainsi que des techniques de calcul essentielles pour le lycée.

• Ensembles de nombres : L’ensemble des nombres naturels est noté ℕ, les entiers relatifs ℤ, les rationnels ℚ, les décimaux 𝔻 et les réels ℝ. Les inclusions sont : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
• Définitions clés : Un nombre décimal a un développement décimal fini. Un rationnel non décimal a un développement décimal périodique infini. Un irrationnel a un développement décimal non périodique infini.
• Techniques de calcul : Le cours insiste sur la simplification d’expressions avec radicaux, la rationalisation des dénominateurs, et la factorisation en utilisant les identités remarquables.
• Astuces pour les examens :
  • Pour simplifier une somme de radicaux, factorisez sous la racine pour faire apparaître des carrés parfaits.
  • Pour rationaliser un dénominateur de la forme √a ± √b, multipliez par l’expression conjuguée.
  • Utilisez les identités remarquables (comme (a+b)² = a²+2ab+b²) pour développer ou factoriser rapidement.
  • Pour vérifier si un nombre est décimal, analysez son écriture fractionnaire après simplification.

Les exercices corrigés illustrent l’application de ces concepts, notamment la manipulation des racines carrées, la distinction entre nombres rationnels et irrationnels, et le calcul algébrique avec des identités polynomiales.