// 2012- Session Normale – Exercices

Résumé et Points Clés

Exercice 1 : Géométrie dans l’espace

L’exercice traite d’une sphère (S) d’équation x² + y² + z² – 2x – 2z – 1 = 0 et de points A, B, C.

• Concepts clés : Équation cartésienne d’une sphère (centre, rayon), équation d’un plan défini par trois points, intersection sphère/plan (cercle), représentation paramétrique d’une droite, projection orthogonale.
• Définitions/Résultats : Le centre Ω est (1;0;1) et le rayon R=√3. Le plan (ABC) a pour équation x – z – 2 = 0. La distance d(Ω,(ABC)) = √2. Comme d < R, l'intersection est un cercle (Γ) de rayon r = √(R² - d²) = 1.
• Méthodes : Pour trouver l’équation d’un plan, utiliser un vecteur normal (produit vectoriel AB∧AC). Le centre du cercle d’intersection est la projection orthogonale du centre de la sphère sur le plan.

Exercice 2 : Nombres complexes

Il comporte une résolution d’équation dans ℂ et l’étude de points dans le plan complexe.

• Concepts clés : Résolution d’équation du second degré dans ℂ, affixe d’un point, alignement de points (via l’argument d’un quotient), translation, argument d’un nombre complexe.
• Définitions/Résultats : Les solutions de Z² – 12Z + 61 = 0 sont 6+5i et 6-5i. Les points A, B, C sont alignés car (a-c)/(b-c) est un réel. L’angle (CB̂, CD) a pour mesure 3π/4.
• Astuces : Pour montrer l’alignement de points A, B, C, vérifier que (a-c)/(b-c) ∈ ℝ. Un argument de (d-c)/(b-c) donne une mesure de l’angle orienté (CB, CD).

Exercice 3 : Probabilités

Problème de tirages simultanés de jetons numérotés.

• Concepts clés : Probabilité dans un cas d’équiprobabilité, cardinal d’un événement, combinaisons.
• Définitions/Résultats : L’univers a pour cardinal C(8,3)=56. P(A)=5/28, P(B)=5/56, P(C)=3/8.
• Méthode : Calculer le cardinal de l’événement en dénombrant les combinaisons favorables (ex: pour “somme=4”, considérer les cas 2+2+0 et 2+1+1).

Exercice 4 : Suites numériques

Étude d’une suite définie par une relation de récurrence linéaire.

• Concepts clés : Suite arithmético-géométrique, monotonie, majoration, convergence, suite géométrique auxiliaire.
• Définitions/Résultats : La suite (Un) est croissante et majorée par 12, donc convergente. En posant Vn = Un – 12, on montre que (Vn) est géométrique de raison 10/11. On en déduit Un = 12 – (10/11)^n et donc lim Un = 12.
• Astuce : Pour résoudre U(n+1) = aUn + b, poser Vn = Un – l où l est la limite potentielle (solution de l = a*l + b).

Problème : Analyse (Fonctions logarithme)

Étude de fonctions associant polynômes et logarithme.

• Concepts clés : Étude des variations, signe d’une fonction, limites (asymptotes, branches paraboliques), dérivation (implicite dans l’étude de g).
• Résultats : La fonction g(x)=x²-1+2x²ln(x) est négative sur ]0,1[ et positive sur [1,+∞[. Pour f(x)=(x²-1)ln(x), lim(x→0⁺) f(x)=+∞ (asymptote verticale x=0) et lim(x→+∞) f(x)/x = +∞ (branche parabolique de direction Oy).
• Conseils : Pour étudier le signe de g, analyser séparément les signes de (x²-1) et de 2x²ln(x). Pour les limites en 0⁺ et +∞, identifier les termes dominants.