2016 : Normale – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé du Sujet d’Examen National Unifié du Baccalauréat 2016 – Mathématiques (NS22F)

Ce sujet de baccalauréat, destiné aux filières Sciences de la Vie et de la Terre et Sciences Physiques (option française), est composé de quatre exercices indépendants et d’un problème, pour une durée de 3 heures et un coefficient 7. L’usage de la calculatrice non programmable est autorisé.

Instructions Générales :

• Traiter les exercices dans l’ordre souhaité.
• Éviter l’utilisation de l’encre rouge.
• Les notations sont spécifiques à chaque exercice.

Composantes et Concepts Clés :

• Exercice 1 (Suites numériques, 2.5 pts) : Étude d’une suite (uₙ) définie par récurrence. Il faut démontrer par récurrence une propriété, étudier une suite auxiliaire géométrique (vₙ), et déterminer la limite de (uₙ).
• Exercice 2 (Géométrie dans l’espace, 3 pts) : Travail sur des points, un plan (ABC) et une sphère (S). Les concepts clés sont le produit vectoriel (pour trouver un vecteur normal), l’équation cartésienne d’un plan, les éléments d’une sphère (centre, rayon), la position relative plan/sphère (cercle d’intersection Γ), et la représentation paramétrique d’une droite orthogonale à un plan.
• Exercice 3 (Nombres complexes, 3 pts) : Résolution d’une équation du second degré dans ℂ. Manipulation des affixes de points, des arguments, et des modules pour démontrer des égalités de longueurs (ΩA = ΩB) et étudier une rotation de centre Ω et d’angle π/2.
• Exercice 4 (Probabilités, 3 pts) : Problème de tirage simultané sans remise dans une urne. Définition d’une variable aléatoire X (nombre de boules rouges restantes), détermination de sa loi de probabilité et calcul de probabilités comme P(X=3).
• Problème (Fonction & Intégrales, 8.5 pts) : Étude complète d’une fonction f définie par f(x)=2x-2+4eˣ-e²ˣ. Les thèmes abordés sont : limites, asymptotes (droite D), dérivée, variations, racine (α), position relative courbe/asymptote, point d’inflexion, construction graphique, et calcul d’aire par intégration. Une seconde partie aborde la résolution d’une équation différentielle et l’étude d’une fonction réciproque.

Conseils pour l’Examen : Bien gérer le temps en commençant par les exercices les plus abordables. Soigner la rédaction, notamment les démonstrations par récurrence et les justifications géométriques. Pour le problème, lier rigoureusement l’analyse algébrique (signe de f'(x), etc.) aux interprétations graphiques (asymptotes, position relative, aire).