Devoirs 2nd Semestre – Cours

Résumé et Points Clés

Résumé du Devoir Surveillé – Mathématiques 2ème Bac SP

Ce devoir couvre deux exercices principaux en analyse et en nombres complexes.

Exercice I : Étude d’une fonction

L’exercice consiste en l’étude complète de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^2x(2 − e^2x) − x.

• Limites et asymptotes : Il faut montrer que lim_x→-∞ f(x) = +∞ et lim_x→+∞ f(x) = -∞. La droite (Δ) d’équation y = -x est une asymptote à la courbe (C) en -∞.
• Position relative : La courbe (C) est au-dessus de (Δ) sur ]-∞, (ln2)/2] et en dessous sur [(ln2)/2, +∞[.
• Dérivée et variations : La dérivée est f'(x) = -(2e^2x – 1)². Cette expression, toujours négative ou nulle, permet de dresser un tableau de variations montrant que f est strictement décroissante sur ℝ.
• Points particuliers : Le point A de coordonnées (-(ln2)/2, (ln2)/2 + 3/4) est un point d’inflexion. L’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans ]0, (ln2)/2[.
• Fonction réciproque : La fonction f, étant strictement décroissante, admet une fonction réciproque f^-1 définie sur ℝ. La construction graphique de f^-1 est demandée, ainsi que le calcul de (f^-1)'(1).

Exercice II : Nombres complexes

Le second exercice porte sur les nombres complexes et la géométrie du plan.

• Résolution d’équation : Il s’agit de résoudre l’équation (E) : z² – 6(1-√3)z + 72 = 0. Le discriminant est Δ = -36(√3 + 1)², conduisant à deux solutions complexes.
• Manipulations algébriques : Pour les nombres complexes a, b, c donnés, il faut vérifier des relations comme bconjugué(c) = a et ac = 12b.
• Formes exponentielles : Il faut écrire b et c sous forme exponentielle, puis en déduire que a = 6√2 * e^-i7π/12.
• Transformations géométriques : Dans le plan complexe, on étudie une homothétie de centre O et de rapport √2, ainsi qu’une rotation R de centre O et d’angle -7π/12. L’objectif est de déterminer des affixes d’images et de caractériser la nature du triangle ODC.

Conseils pour l’examen : Maîtrisez parfaitement l’étude des limites, de la dérivation et du sens de variation. Pour les complexes, entraînez-vous sur le passage entre formes algébrique, trigonométrique et exponentielle, ainsi que sur l’interprétation géométrique des modules et arguments.