Devoirs 1er Semestre – Partie 3

Résumé et Points Clés

Résumé de l’examen de Mathématiques (Février 2020, 2ème BAC PC BIOF)

Ce document est un examen de fin de semestre de mathématiques, d’une durée de 3 heures et coefficient 7. Il est structuré en trois exercices principaux.

Exercice 1 : Étude d’une suite numérique (4,5 points)

• L’exercice porte sur une suite (u_n) définie par récurrence. Les questions demandent de :
  • Établir des propriétés par récurrence (u_n > 19).
  • Étudier la monotonie et la convergence de la suite vers une limite dans [19, 20].
  • Introduire une suite auxiliaire géométrique (v_n) pour exprimer u_n et calculer sa limite.
  • Déterminer le plus petit entier n tel que |u_n – 19| < 10^-25.
• Concepts clés : Récurrence, monotonie, convergence, suite géométrique, limite.

Exercice 2 : Nombres complexes et géométrie (4 points)

• Cet exercice combine algèbre et géométrie dans le plan complexe. Il faut :
  • Résoudre une équation du second degré dans ℂ et mettre une solution sous forme trigonométrique.
  • Utiliser l’écriture complexe d’une rotation pour déterminer l’image d’un point.
  • Démontrer des alignements, des égalités de distances et des angles pour déterminer la nature d’un triangle (ACD est équilatéral).
  • Montrer qu’une droite est une médiatrice.
• Concepts clés : Formes algébrique/trigonométrique, rotation, affixe, arguments et modules, configurations géométriques.

Exercice 3 : Analyse de fonctions (11,5 points)

• Cette partie importante traite de l’étude complète d’une fonction f(x) = x/ln(x) + ln(x) – x.
  • Étude préliminaire d’une fonction auxiliaire g pour son signe.
  • Calcul de limites, interprétation géométrique (asymptote verticale en 0), et identification d’une branche parabolique de direction (Δ): y = x.
  • Étude des variations de f via sa dérivée (f'(x) = g(x)/x²).
  • Résolution d’équation, construction de la courbe.
  • Démonstration de l’existence et de la dérivabilité de la fonction réciproque f^-1.
  • Étude d’une suite définie par u₀ et u_n+1 = f(u_n), en prouvant qu’elle est décroissante et convergente vers 1.
• Concepts clés : Limites, dérivabilité, variations, branche parabolique, fonction réciproque, étude de suite récurrente.

Conseils pour l’examen : Maîtriser les démonstrations par récurrence et les raisonnements sur les suites. Bien manipuler les différentes formes des nombres complexes et leurs interprétations géométriques. Pour l’étude de fonction, soigner le calcul des limites et l’analyse du signe de la dérivée. La gestion du temps est cruciale compte tenu du volume et du coefficient élevé.