Devoirs 1er Semestre – Exercices

Résumé et Points Clés

Résumé du Devoir Surveillé – Analyse Mathématique (2ème Bac Sciences Physiques)

Ce devoir surveillé est structuré en deux parties principales, centrées sur l’étude approfondie d’une fonction et d’une suite récurrente.

Partie I : Étude de la fonction f(x) = x(√x − 2)²

• Domaine et limites : Le domaine de définition Df est R+. La limite en +∞ est +∞, indiquant une branche parabolique de direction (Oy).
• Dérivabilité et tangente : L’étude de la dérivabilité à droite en 0 permet de déterminer l’équation de la demi-tangente (T) à la courbe (Cf) en ce point.
• Dérivée et variations : La fonction est dérivable sur R+* et sa dérivée est f'(x) = 2(√x − 2)(√x − 1). L’analyse du signe de f'(x) conduit au tableau de variations, avec des points critiques en x=1 et x=4.
• Points d’intersection et positions relatives : L’énoncé guide pour trouver les points d’intersection de (Cf) avec l’axe (OX) et avec la droite (D): y=x, et pour étudier leurs positions relatives.
• Concavité et point d’inflexion : L’étude de la dérivée seconde f”(x) = (2√x − 3)/√x permet de déterminer la concavité de la courbe et de prouver l’existence d’un point d’inflexion I.
• Représentation graphique : La conclusion demande le tracé de la demi-tangente (T), de la droite (D) et de la courbe (Cf).

Partie II : Étude de la suite récurrente (un)

• Définition : La suite est définie par u0 = 1/2 et la relation de récurrence un+1 = f(un), où f est la fonction étudiée précédemment.
• Majoration et monotonie : Il faut démontrer par récurrence que la suite est bornée (0 ≤ un ≤ 1) et qu’elle est croissante.
• Convergence et limite : Ces propriétés (bornée et croissante) impliquent la convergence de la suite. Le calcul de sa limite, notée l, repose sur la résolution de l’équation l = f(l).

Conseils pour l’examen : Maîtriser les étapes classiques de l’étude d’une fonction (domaine, limites, dérivabilité, variations, points particuliers) est essentiel. Pour la suite, bien comprendre le lien entre la fonction f et la relation de récurrence est crucial pour démontrer les propriétés et trouver la limite.